Номер 17.48, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.48 a) $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^8;$

б) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \dots + \frac{1}{2^{10}};$

B) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^6};$

Г) $1 - 3 + 3^2 - 3^3 + \dots - 3^9.$

а) $1 + 2 + 2^2 + ... + 2^8$

Данная сумма является суммой членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2$.

Члены прогрессии можно представить в виде $2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^8$. Таким образом, количество членов в прогрессии $n = 8 - 0 + 1 = 9$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим наши значения в формулу:

$S_9 = \frac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$.

Ответ: $511$.

б) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - ... + \frac{1}{2^{10}}$

Эта сумма является суммой членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$ с чередующимися знаками, что указывает на отрицательный знаменатель.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.

Члены прогрессии можно представить в виде $(-\frac{1}{2})^0, (-\frac{1}{2})^1, (-\frac{1}{2})^2, ..., (-\frac{1}{2})^{10}$. Следовательно, количество членов $n = 10 - 0 + 1 = 11$.

Используем ту же формулу суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения:

$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-\frac{1}{2})^{11} - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{1}{2048} - 1}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{2049}{2048}}{-\frac{3}{2}} = \frac{2049}{2048} \cdot \frac{2}{3} = \frac{683}{1024}$.

Ответ: $\frac{683}{1024}$.

в) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^6}$

Это сумма членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3^2}{1/3} = \frac{1}{3}$.

Члены прогрессии можно представить в виде $(\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, ..., (\frac{1}{3})^6$. Таким образом, количество членов $n = 6$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, которая удобна при $|q| < 1$.

Подставим значения:

$S_6 = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{728}{2 \cdot 729} = \frac{364}{729}$.

Ответ: $\frac{364}{729}$.

г) $1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... - 3^9$

Это сумма членов конечной геометрической прогрессии $(b_n)$ с чередующимися знаками.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3$.

Последний член прогрессии $-3^9$ можно записать как $(-3)^9$. Члены прогрессии имеют вид $(-3)^0, (-3)^1, ..., (-3)^9$. Количество членов $n = 9 - 0 + 1 = 10$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения:

$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1} = \frac{3^{10} - 1}{-4}$.

Вычислим $3^{10} = 59049$.

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{-4} = \frac{59048}{-4} = -14762$.

Ответ: $-14762$.