Номер 17.26, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.26 Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии ($b_n$), у которой:

а) $b_1 = 18, q = -\frac{1}{3};$

б) $b_1 = 15, q = -\frac{2}{3};$

в) $b_1 = -12, q = -\frac{1}{2};$

г) $b_1 = -9, q = \sqrt{3}.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов. Если знаменатель $q$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), удобнее использовать эквивалентную формулу:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Во всех случаях требуется найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

а) Дано: $b_1 = 18$, $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, используем вторую формулу.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = \frac{18(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}}$

Сначала вычислим $q^6$:

$q^6 = (\frac{1}{3})^6 = \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{729}$

Теперь вычислим сумму:

$S_6 = \frac{18(1 - \frac{1}{729})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18(\frac{729 - 1}{729})}{\frac{3 - 1}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}$

Для упрощения дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$S_6 = 18 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} \cdot \frac{728}{729} = 27 \cdot \frac{728}{729} = \frac{728}{27}$

В виде смешанной дроби это $26 \frac{26}{27}$.

Ответ: $S_6 = \frac{728}{27}$.

б) Дано: $b_1 = 15$, $q = \frac{2}{3}$.

Поскольку $|q| = \frac{2}{3} < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{15(1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}}$

Вычислим $q^6$:

$q^6 = (\frac{2}{3})^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$

Теперь вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{15(1 - \frac{64}{729})}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{15(\frac{729 - 64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{15 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}$

$S_6 = 15 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = 45 \cdot \frac{665}{729} = \frac{45 \cdot 665}{729}$

Сократим дробь на 9 ($45 = 5 \cdot 9$, $729 = 81 \cdot 9$):

$S_6 = \frac{5 \cdot 665}{81} = \frac{3325}{81}$

В виде смешанной дроби это $41 \frac{4}{81}$.

Ответ: $S_6 = \frac{3325}{81}$.

в) Дано: $b_1 = -12$, $q = -\frac{1}{2}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{-12(1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Вычислим $q^6$. Так как степень четная, минус исчезает:

$q^6 = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

Вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{-12(1 - \frac{1}{64})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-12(\frac{63}{64})}{\frac{3}{2}}$

$S_6 = -12 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{12 \cdot 2}{3} \cdot \frac{63}{64} = -8 \cdot \frac{63}{64} = -\frac{63}{8}$

В виде смешанной дроби это $-7 \frac{7}{8}$.

Ответ: $S_6 = -\frac{63}{8}$.

г) Дано: $b_1 = -9$, $q = \sqrt{3}$.

Поскольку $|q| = \sqrt{3} > 1$, используем основную формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставляем значения:

$S_6 = \frac{-9((\sqrt{3})^6 - 1)}{\sqrt{3} - 1}$

Вычислим $q^6$:

$q^6 = (\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3 = 3^3 = 27$

Теперь вычисляем сумму:

$S_6 = \frac{-9(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9 \cdot 26}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-234}{\sqrt{3} - 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$S_6 = -117(\sqrt{3} + 1)$

Ответ: $S_6 = -117(\sqrt{3} + 1)$.