Номер 17.8, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.8 Найдите знаменатель геометрической прогрессии:

а) $2, \sqrt{2}, 1, ...;$

б) $\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, ...;$

в) $3^{15}, 3^{14}, 3^{13}, ...;$

г) $\frac{12\sqrt{5}}{7}, 6\sqrt{5}, 21\sqrt{5}, ....$

а) Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии, начиная со второго, на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Для данной прогрессии $2, \sqrt{2}, 1, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = 2$ и $b_2 = \sqrt{2}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = \sqrt{2}$ и $b_3 = 1$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для прогрессии $\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $b_3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Для прогрессии $3^{15}, 3^{14}, 3^{13}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = 3^{15}$ и $b_2 = 3^{14}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3^{14}}{3^{15}} = 3^{14-15} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = 3^{14}$ и $b_3 = 3^{13}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3^{13}}{3^{14}} = 3^{13-14} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Для прогрессии $\frac{12\sqrt{5}}{7}, 6\sqrt{5}, 21\sqrt{5}, \dots$ возьмем первые два члена: $b_1 = \frac{12\sqrt{5}}{7}$ и $b_2 = 6\sqrt{5}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{7}} = 6\sqrt{5} \cdot \frac{7}{12\sqrt{5}} = \frac{42}{12} = \frac{7}{2}$.
Для проверки возьмем второй и третий члены: $b_2 = 6\sqrt{5}$ и $b_3 = 21\sqrt{5}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{21\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
Значение знаменателя совпадает, значит, он найден верно.
Ответ: $\frac{7}{2}$