Номер 17.3, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.3 Дана убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен её знаменатель?

Какие из приведённых ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

Убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10 состоит из членов, где показатели степени — это целые отрицательные числа: -1, -2, -3, и так далее.

Запишем первые несколько членов этой последовательности, обозначив их $b_n$. Чтобы последовательность была убывающей, степени должны идти в порядке -1, -2, -3, ...: $b_1 = 10^{-1} = 0,1$; $b_2 = 10^{-2} = 0,01$; $b_3 = 10^{-3} = 0,001$. Общий член последовательности можно записать формулой $b_n = 10^{-n}$.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической прогрессией, необходимо найти отношение любого её члена к предыдущему и убедиться, что оно постоянно.

Найдем отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 10^{-2 - (-1)} = 10^{-1} = 0,1$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{10^{-3}}{10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1$.

Видно, что отношение постоянно. В общем виде для $(n+1)$-го и $n$-го членов: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{10^{-(n+1)}}{10^{-n}} = 10^{-n-1 - (-n)} = 10^{-n-1+n} = 10^{-1} = 0,1$.

Так как отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему постоянно и равно 0,1, то данная последовательность является геометрической прогрессией. Её знаменатель $q = 0,1$.

Ответ: Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Её знаменатель равен 0,1.