Номер 16.68, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.68 Найдите те значения x, при которых данные числа в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию:

а) $x - 4, \sqrt{x - 3}, x - 6;$

б) $4x + 6, \sqrt{5 - 4x}, -x - 1.$

а)

Данные числа $x - 4$, $\sqrt{x-3}$ и $x - 6$ образуют арифметическую прогрессию, если средний член является средним арифметическим двух крайних. Это свойство можно записать в виде формулы: $2a_2 = a_1 + a_3$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь применим свойство арифметической прогрессии к данным числам:

$2\sqrt{x-3} = (x - 4) + (x - 6)$

$2\sqrt{x-3} = 2x - 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x-3} = x - 5$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной (так как значение квадратного корня не может быть отрицательным):

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

Это условие ($x \ge 5$) является более строгим, чем ОДЗ ($x \ge 3$), поэтому будем использовать его.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x-3} = x - 5$ в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (x-5)^2$

$x - 3 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 28. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 5$:

• Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 5$, значит, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 5$, значит, это искомое решение.

Ответ: $x = 7$.

б)

Данные числа $4x + 6$, $\sqrt{5-4x}$ и $-x - 1$ образуют арифметическую прогрессию, если выполняется равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:

$5 - 4x \ge 0 \implies 5 \ge 4x \implies x \le \frac{5}{4}$.

Подставим выражения в характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$2\sqrt{5-4x} = (4x + 6) + (-x - 1)$

$2\sqrt{5-4x} = 3x + 5$

Прежде чем возводить в квадрат, убедимся, что правая часть уравнения неотрицательна:

$3x + 5 \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$.

Таким образом, решение должно удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{4} \\ x \ge -\frac{5}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $[-\frac{5}{3}, \frac{5}{4}]$.

Возведем обе части уравнения $2\sqrt{5-4x} = 3x + 5$ в квадрат:

$4(5-4x) = (3x+5)^2$

$20 - 16x = 9x^2 + 30x + 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$9x^2 + 30x + 16x + 25 - 20 = 0$

$9x^2 + 46x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 46^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 2116 - 180 = 1936$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$.

$x_1 = \frac{-46 - 44}{2 \cdot 9} = \frac{-90}{18} = -5$

$x_2 = \frac{-46 + 44}{2 \cdot 9} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни интервалу $[-\frac{5}{3}, \frac{5}{4}]$:

• Корень $x_1 = -5$. Так как $-5 < -\frac{5}{3}$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним.
• Корень $x_2 = -\frac{1}{9}$. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, а $\frac{5}{4} = 1.25$, то $-\frac{5}{3} < -\frac{1}{9} < \frac{5}{4}$. Этот корень подходит.

Ответ: $x = -\frac{1}{9}$.