Номер 16.64, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.64 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 5 капель, доводя его до пяти капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?

Для решения задачи необходимо рассчитать общее количество капель лекарства, которое больной примет за весь курс лечения. Курс можно разбить на три этапа: увеличение дозы, прием постоянной дозы и уменьшение дозы.

Этап 1: Увеличение дозы.

Прием лекарства начинается с 5 капель и ежедневно увеличивается на 5 капель, пока не достигнет 40 капель. Количество капель по дням образует арифметическую прогрессию.
Первый член прогрессии $a_1 = 5$.
Разность прогрессии $d = 5$.
Последний член прогрессии $a_n = 40$.
Сначала найдем количество дней $n$ на этом этапе по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$40 = 5 + (n-1) \cdot 5$

$35 = (n-1) \cdot 5$

$n-1 = \frac{35}{5} = 7$

$n = 8$ дней.

Теперь рассчитаем общее количество капель ($S_1$) за этот период по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_1 = \frac{5 + 40}{2} \cdot 8 = \frac{45}{2} \cdot 8 = 45 \cdot 4 = 180$ капель.

Этап 2: Прием постоянной дозы.

Больной принимает по 40 капель в день в течение 3 дней. Общее количество капель ($S_2$) на этом этапе:

$S_2 = 40 \text{ капель/день} \cdot 3 \text{ дня} = 120$ капель.

Этап 3: Уменьшение дозы.

После приема максимальной дозы, прием ежедневно уменьшается на 5 капель до 5 капель в последний день. Эта последовательность также является арифметической прогрессией. Прием начинается со следующего дня, поэтому первая доза в этой фазе составляет $40 - 5 = 35$ капель.
Первый член прогрессии $b_1 = 35$.
Последний член $b_m = 5$.
Разность $d = -5$.
Найдем количество дней $m$ на этом этапе:

$b_m = b_1 + (m-1)d$

$5 = 35 + (m-1) \cdot (-5)$

$-30 = (m-1) \cdot (-5)$

$m-1 = \frac{-30}{-5} = 6$

$m = 7$ дней.

Общее количество капель ($S_3$) за этот период:

$S_3 = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{35 + 5}{2} \cdot 7 = \frac{40}{2} \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140$ капель.

Общий расчет.

Теперь сложим количество капель со всех трех этапов, чтобы найти общее количество ($S_{общ}$), необходимое на весь курс:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 180 + 120 + 140 = 440$ капель.

В каждом пузырьке содержится 200 капель. Чтобы найти необходимое количество пузырьков, разделим общее количество капель на количество капель в одном пузырьке:

Количество пузырьков = $\frac{440}{200} = 2.2$

Поскольку 2 пузырьков будет недостаточно (это $2 \cdot 200 = 400$ капель), а купить можно только целое число пузырьков, необходимо приобрести 3 пузырька.

Ответ: больному нужно купить 3 пузырька лекарства.