Номер 16.65, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.65 Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?

Движение улитки представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член — это расстояние, которое улитка проползает за очередную минуту.

Определим параметры этой арифметической прогрессии. Первый член прогрессии, $a_1$, — это расстояние, пройденное за первую минуту, то есть $a_1 = 30$ см. Разность прогрессии, $d$, — это величина, на которую увеличивается расстояние каждую следующую минуту, то есть $d = 5$ см. Общее расстояние, которое нужно проползти, — это высота дерева, которая является суммой всех членов прогрессии $S_n$. Переведем высоту дерева в сантиметры: $5,25 \text{ м} = 5,25 \times 100 \text{ см} = 525 \text{ см}$. Таким образом, $S_n = 525$ см.

Нам необходимо найти время $n$ в минутах, что соответствует количеству членов в этой прогрессии. Для этого используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \times n$

Подставим известные значения в формулу:

$525 = \frac{2 \times 30 + 5(n-1)}{2} \times n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$525 = \frac{60 + 5n - 5}{2} \times n$

$525 = \frac{55 + 5n}{2} \times n$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1050 = (55 + 5n) \times n$

$1050 = 55n + 5n^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$5n^2 + 55n - 1050 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$n^2 + 11n - 210 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 11^2 - 4 \times 1 \times (-210) = 121 + 840 = 961$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-11 + 31}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-11 - 31}{2 \times 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку время $n$ не может быть отрицательным, корень $n_2 = -21$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 10$.

Ответ: 10 минут.