Номер 16.58, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.58 Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 6n - 306$. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены прогрессии:

а) больше $-12$;

б) являются положительными;

в) принадлежат лучу $[300; +\infty)$;

г) принадлежат открытому лучу $(-6; +\infty)$.

а) больше –12;

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии $a_n = 6n - 306$ будут больше –12, необходимо решить неравенство $a_n > -12$.

Подставим выражение для $a_n$ в неравенство:

$6n - 306 > -12$

Перенесем –306 в правую часть, изменив знак:

$6n > -12 + 306$

$6n > 294$

Разделим обе части неравенства на 6:

$n > \frac{294}{6}$

$n > 49$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 50.

Проверим: $a_{49} = 6 \cdot 49 - 306 = 294 - 306 = -12$. Этот член не больше –12.

$a_{50} = 6 \cdot 50 - 306 = 300 - 306 = -6$. Этот член больше –12.

Ответ: 50.

б) являются положительными;

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 > 0$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n > 306$

Разделим обе части на 6:

$n > \frac{306}{6}$

$n > 51$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 51, — это 52.

Проверим: $a_{51} = 6 \cdot 51 - 306 = 306 - 306 = 0$. Этот член не является положительным.

$a_{52} = 6 \cdot 52 - 306 = 312 - 306 = 6$. Этот член является положительным.

Ответ: 52.

в) принадлежат лучу [300; +∞);

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого члены прогрессии принадлежат лучу $[300; +\infty)$, нужно решить неравенство $a_n \ge 300$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 \ge 300$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n \ge 300 + 306$

$6n \ge 606$

Разделим обе части на 6:

$n \ge \frac{606}{6}$

$n \ge 101$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 101.

Проверим: $a_{100} = 6 \cdot 100 - 306 = 600 - 306 = 294$. Этот член меньше 300.

$a_{101} = 6 \cdot 101 - 306 = 606 - 306 = 300$. Этот член равен 300 и принадлежит лучу.

Ответ: 101.

г) принадлежат открытому лучу (–6; +∞).

Чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого члены прогрессии принадлежат открытому лучу $(–6; +∞)$, нужно решить неравенство $a_n > -6$.

Подставим формулу для $a_n$:

$6n - 306 > -6$

Перенесем –306 в правую часть:

$6n > -6 + 306$

$6n > 300$

Разделим обе части на 6:

$n > \frac{300}{6}$

$n > 50$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 50, — это 51.

Проверим: $a_{50} = 6 \cdot 50 - 306 = 300 - 306 = -6$. Этот член не больше –6.

$a_{51} = 6 \cdot 51 - 306 = 306 - 306 = 0$. Этот член больше –6.

Ответ: 51.