Номер 16.52, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Прогрессии. ч. 2 - номер 16.52, страница 104.

16.52 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $a_1$, если:

а) $d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $n = 24$, $a_n = 10\sqrt{3} - 4$;

б) $d = 1 + q$, $n = 28$, $a_n = 28 + 27q$;

в) $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $n = 21$, $a_n = 2\sqrt{3} + 5$;

г) $d = 1 - 3l$, $n = 22$, $a_n = l$.

Для решения всех подпунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим из этой формулы первый член прогрессии $a_1$: $a_1 = a_n - (n-1)d$

а) Дано: $d = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $n = 24$, $a_n = 10\sqrt{3} - 4$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (10\sqrt{3} - 4) - (24-1) \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - 23 \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - \frac{23(\sqrt{3}-1)}{2}$
$a_1 = 10\sqrt{3} - 4 - \frac{23\sqrt{3}-23}{2}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 2:
$a_1 = \frac{2(10\sqrt{3} - 4)}{2} - \frac{23\sqrt{3}-23}{2}$
$a_1 = \frac{20\sqrt{3} - 8 - (23\sqrt{3}-23)}{2}$
$a_1 = \frac{20\sqrt{3} - 8 - 23\sqrt{3} + 23}{2}$
$a_1 = \frac{(20\sqrt{3} - 23\sqrt{3}) + (-8 + 23)}{2}$
$a_1 = \frac{-3\sqrt{3} + 15}{2}$
Ответ: $\frac{15 - 3\sqrt{3}}{2}$.

б) Дано: $d = 1 + q$, $n = 28$, $a_n = 28 + 27q$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (28 + 27q) - (28-1) \cdot (1+q)$
$a_1 = 28 + 27q - 27(1+q)$
Раскроем скобки:
$a_1 = 28 + 27q - 27 - 27q$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (28 - 27) + (27q - 27q)$
$a_1 = 1 + 0$
$a_1 = 1$
Ответ: 1.

в) Дано: $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $n = 21$, $a_n = 2\sqrt{3} + 5$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = (2\sqrt{3} + 5) - (21-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a_1 = 2\sqrt{3} + 5 - 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a_1 = 2\sqrt{3} + 5 - 10\sqrt{3}$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 5$
$a_1 = -8\sqrt{3} + 5$
Ответ: $5 - 8\sqrt{3}$.

г) Дано: $d = 1 - 3l$, $n = 22$, $a_n = l$.
Подставим данные значения в формулу для $a_1$:
$a_1 = l - (22-1) \cdot (1 - 3l)$
$a_1 = l - 21(1 - 3l)$
Раскроем скобки:
$a_1 = l - (21 - 63l)$
$a_1 = l - 21 + 63l$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$a_1 = (l + 63l) - 21$
$a_1 = 64l - 21$
Ответ: $64l - 21$.