Номер 16.56, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.56 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут меньше заданного числа $A$:

а) $a_n = 12 - 3n, A = -41$;

б) $a_n = 3\sqrt{3} - n\sqrt{3}, A = -7$;

в) $a_n = 117 - 5.5n, A = 10$;

г) $a_n = 15\sqrt{2} - n(\sqrt{2} - 1), A = -1$.

Для решения задачи необходимо для каждого случая найти наименьший натуральный номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < A$. Поскольку во всех случаях разность арифметической прогрессии отрицательна, последовательности являются убывающими. Это значит, что если неравенство $a_n < A$ выполняется для некоторого номера $n$, оно будет выполняться и для всех последующих номеров $m > n$.

Дано: $a_n = 12 - 3n$, $A = -41$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$12 - 3n < -41$

Перенесем 12 в правую часть:

$-3n < -41 - 12$

$-3n < -53$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$n > \frac{-53}{-3}$

$n > \frac{53}{3}$

Выделим целую часть:

$\frac{53}{3} = 17 \frac{2}{3}$

Таким образом, $n > 17 \frac{2}{3}$. Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 18.

Ответ: 18.

Дано: $a_n = 3\sqrt{3} - n\sqrt{3}$, $A = -7$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$3\sqrt{3} - n\sqrt{3} < -7$

Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

$\sqrt{3}(3 - n) < -7$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (знак неравенства не меняется, так как $\sqrt{3} > 0$):

$3 - n < -\frac{7}{\sqrt{3}}$

Перенесем 3 в правую часть:

$-n < -3 - \frac{7}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > 3 + \frac{7}{\sqrt{3}}$

Оценим значение правой части. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$\frac{7}{\sqrt{3}} \approx \frac{7}{1.732} \approx 4.041$

Тогда $n > 3 + 4.041$, то есть $n > 7.041$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 8.

Ответ: 8.

Дано: $a_n = 117 - 5.5n$, $A = 10$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$117 - 5.5n < 10$

Перенесем 117 в правую часть:

$-5.5n < 10 - 117$

$-5.5n < -107$

Разделим обе части на -5.5, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > \frac{-107}{-5.5}$

$n > \frac{107}{5.5}$

$n > \frac{1070}{55}$

$n > \frac{214}{11}$

Выделим целую часть:

$\frac{214}{11} = 19 \frac{5}{11}$

Таким образом, $n > 19 \frac{5}{11}$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 20.

Ответ: 20.

Дано: $a_n = 15\sqrt{2} - n(\sqrt{2}-1)$, $A = -1$.

Составим и решим неравенство $a_n < A$:

$15\sqrt{2} - n(\sqrt{2}-1) < -1$

Перенесем $15\sqrt{2}$ в правую часть:

$-n(\sqrt{2}-1) < -1 - 15\sqrt{2}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n(\sqrt{2}-1) > 1 + 15\sqrt{2}$

Разделим обе части на $(\sqrt{2}-1)$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $(\sqrt{2}-1) > 0$, и знак неравенства не меняется:

$n > \frac{1 + 15\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$n > \frac{(1 + 15\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{1 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 1 + 15\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 15\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1 + 15 \cdot 2 + 15\sqrt{2}}{2 - 1}$

$n > \frac{31 + 16\sqrt{2}}{1}$

$n > 31 + 16\sqrt{2}$

Оценим значение правой части. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$16\sqrt{2} \approx 16 \cdot 1.414 = 22.624$

Тогда $n > 31 + 22.624$, то есть $n > 53.624$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 54.

Ответ: 54.