Номер 16.53, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.53 Дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$. Найдите $d$, если:

а) $a_1 = \frac{2\sqrt{3}+3}{2}$, $a_n = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$, $n=18$;

б) $a_1 = 3 - 7m$, $a_n = m - 5$, $n=9$;

в) $a_1 = \sqrt{5} - 1$, $a_n = 0$, $n=6$;

г) $a_1 = 13 - 8p$, $a_n = 2p + 3$, $n=11$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии d используется формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим из этой формулы разность d:

$(n-1)d = a_n - a_1$

$d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$

Теперь применим эту формулу для каждого из пунктов.

а)

Дано: $a_1 = \frac{2\sqrt{3}+3}{2}$, $a_n = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$, $n = 18$.

Подставим известные значения в формулу для d:

$d = \frac{-\frac{2\sqrt{3}-3}{2} - \frac{2\sqrt{3}+3}{2}}{18-1}$

Сначала упростим числитель:

$a_n - a_1 = -\frac{2\sqrt{3}-3}{2} - \frac{2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{-(2\sqrt{3}-3) - (2\sqrt{3}+3)}{2} = \frac{-2\sqrt{3}+3 - 2\sqrt{3}-3}{2} = \frac{-4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}$

Знаменатель равен $n-1 = 18-1=17$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{-2\sqrt{3}}{17}$

Ответ: $d = -\frac{2\sqrt{3}}{17}$.

б)

Дано: $a_1 = 3 - 7m$, $a_n = m - 5$, $n = 9$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{(m - 5) - (3 - 7m)}{9-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = (m - 5) - (3 - 7m) = m - 5 - 3 + 7m = 8m - 8$

Знаменатель равен $n-1 = 9-1=8$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{8m - 8}{8} = \frac{8(m-1)}{8} = m-1$

Ответ: $d = m-1$.

в)

Дано: $a_1 = \sqrt{5} - 1$, $a_n = 0$, $n = 6$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{0 - (\sqrt{5} - 1)}{6-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = 0 - (\sqrt{5} - 1) = -\sqrt{5} + 1 = 1 - \sqrt{5}$

Знаменатель равен $n-1 = 6-1=5$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$

Ответ: $d = \frac{1 - \sqrt{5}}{5}$.

г)

Дано: $a_1 = 13 - 8p$, $a_n = 2p + 3$, $n = 11$.

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{(2p + 3) - (13 - 8p)}{11-1}$

Упростим числитель:

$a_n - a_1 = (2p + 3) - (13 - 8p) = 2p + 3 - 13 + 8p = 10p - 10$

Знаменатель равен $n-1 = 11-1=10$.

Теперь найдем d:

$d = \frac{10p - 10}{10} = \frac{10(p-1)}{10} = p-1$

Ответ: $d = p-1$.