Номер 16.47, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.47 Зная формулу $n$-го члена арифметической прогрессии ($a_n$), найдите $a_1$ и $d$:

а) $a_n = -\frac{n+1}{4}$;

б) $a_n = \frac{2\sqrt{3}-5n}{3}$;

в) $a_n = \frac{3n-2}{5}$;

г) $a_n = \frac{\sqrt{7n-5}}{\sqrt{5}}$.

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии $a_1$ и ее разность $d$, зная формулу $n$-го члена, мы будем использовать следующий метод:
1. Для нахождения первого члена $a_1$ подставим в формулу значение $n=1$.
2. Для нахождения разности $d$ сначала вычислим второй член прогрессии $a_2$, подставив в формулу $n=2$.
3. Затем найдем разность по формуле $d = a_2 - a_1$.

а) Дана формула $a_n = -\frac{n+1}{4}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = -\frac{1+1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = -\frac{2+1}{4} = -\frac{3}{4}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = -\frac{3}{4} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $a_1 = -\frac{1}{2}$, $d = -\frac{1}{4}$.

б) Дана формула $a_n = \frac{2\sqrt{3} - 5n}{3}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{2\sqrt{3} - 5 \cdot 1}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 5}{3}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{2\sqrt{3} - 5 \cdot 2}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 10}{3}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{2\sqrt{3} - 10}{3} - \frac{2\sqrt{3} - 5}{3} = \frac{(2\sqrt{3} - 10) - (2\sqrt{3} - 5)}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 10 - 2\sqrt{3} + 5}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $a_1 = \frac{2\sqrt{3} - 5}{3}$, $d = -\frac{5}{3}$.

в) Дана формула $a_n = \frac{3n - 2}{5}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{3 \cdot 1 - 2}{5} = \frac{1}{5}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{3 \cdot 2 - 2}{5} = \frac{6-2}{5} = \frac{4}{5}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $a_1 = \frac{1}{5}$, $d = \frac{3}{5}$.

г) Дана формула $a_n = \frac{\sqrt{7}n - 5}{\sqrt{5}}$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{\sqrt{7} \cdot 1 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$.

Найдем второй член прогрессии $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = \frac{\sqrt{7} \cdot 2 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$.

Разность прогрессии $d$ равна $a_2 - a_1$:

$d = \frac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}} = \frac{(2\sqrt{7} - 5) - (\sqrt{7} - 5)}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{7} - 5 - \sqrt{7} + 5}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $a_1 = \frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{5}}$, $d = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$.