Номер 16.55, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.55 Является ли число $b$ членом заданной арифметической прогрессии $(a_n)$? Если да, то укажите номер этого члена.

а) $a_n = 13 - 0,4n$, $b = 4,6;$

б) $a_n = 3n - 5,7$, $b = 69,4;$

в) $a_n = 5n - 104$, $b = 21;$

г) $a_n = 21,3 - 1,7n$, $b = 4,3.$

Для того чтобы определить, является ли число $b$ членом арифметической прогрессии $(a_n)$, необходимо приравнять формулу $n$-го члена $a_n$ к числу $b$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если решение $n$ является натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то число $b$ является членом прогрессии с номером $n$. В противном случае — не является.

а) $a_n = 13 - 0{,}4n, b = 4{,}6$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$13 - 0{,}4n = 4{,}6$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить член с $n$:

$0{,}4n = 13 - 4{,}6$

$0{,}4n = 8{,}4$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{8{,}4}{0{,}4} = \frac{84}{4}$

$n = 21$

Поскольку мы получили натуральное число $n = 21$, это означает, что число $4{,}6$ является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 21.

б) $a_n = 3n - 5{,}7, b = 69{,}4$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$3n - 5{,}7 = 69{,}4$

Перенесем слагаемые:

$3n = 69{,}4 + 5{,}7$

$3n = 75{,}1$

Найдем $n$:

$n = \frac{75{,}1}{3}$

$n \approx 25{,}033...$

Полученное значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, число $69{,}4$ не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Нет, не является.

в) $a_n = 5n - 104, b = 21$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$5n - 104 = 21$

Перенесем слагаемые:

$5n = 21 + 104$

$5n = 125$

Найдем $n$:

$n = \frac{125}{5}$

$n = 25$

Поскольку $n = 25$ — натуральное число, число $21$ является 25-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 25.

г) $a_n = 21{,}3 - 1{,}7n, b = 4{,}3$

Составим и решим уравнение $a_n = b$:

$21{,}3 - 1{,}7n = 4{,}3$

Перенесем слагаемые:

$1{,}7n = 21{,}3 - 4{,}3$

$1{,}7n = 17$

Найдем $n$:

$n = \frac{17}{1{,}7} = \frac{170}{17}$

$n = 10$

Поскольку $n = 10$ — натуральное число, число $4{,}3$ является 10-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 10.