Номер 16.57, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.57 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии ($a_n$) будут больше заданного числа $A$:

a) $a_n = 7n - 121, A = \sqrt{3};$

б) $a_n = n\sqrt{2} - 4\sqrt{2}, A = 21;$

в) $a_n = 5n - 17,7, A = 2 + 3\sqrt{5};$

г) $a_n = n(\sqrt{5} - 1) - 3\sqrt{5}, A = 5.$

Для каждого случая необходимо решить неравенство $a_n > A$ относительно $n$ и найти наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству.

а) Дана прогрессия $a_n = 7n - 121$ и число $A = \sqrt{3}$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$7n - 121 > \sqrt{3}$

$7n > 121 + \sqrt{3}$

$n > \frac{121 + \sqrt{3}}{7}$

Чтобы найти наименьшее целое $n$, оценим значение правой части. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$.

Тогда $121 + 1 < 121 + \sqrt{3} < 121 + 2$, то есть $122 < 121 + \sqrt{3} < 123$.

Поделим на 7:

$\frac{122}{7} < \frac{121 + \sqrt{3}}{7} < \frac{123}{7}$

$17\frac{3}{7} < \frac{121 + \sqrt{3}}{7} < 17\frac{4}{7}$

Таким образом, $n > 17.something$. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 18.

Ответ: 18.

б) Дана прогрессия $a_n = n\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$ и число $A = 21$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$n\sqrt{2} - 4\sqrt{2} > 21$

$\sqrt{2}(n - 4) > 21$

$n - 4 > \frac{21}{\sqrt{2}}$

$n > 4 + \frac{21}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение: $\frac{21}{\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{2} = 10.5\sqrt{2}$.

$n > 4 + 10.5\sqrt{2}$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$n > 4 + 10.5 \cdot 1.414 = 4 + 14.847 = 18.847$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 18.847, — это 19.

Ответ: 19.

в) Дана прогрессия $a_n = 5n - 17.7$ и число $A = 2 + 3\sqrt{5}$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$5n - 17.7 > 2 + 3\sqrt{5}$

$5n > 19.7 + 3\sqrt{5}$

$n > \frac{19.7 + 3\sqrt{5}}{5}$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$n > \frac{19.7 + 3 \cdot 2.236}{5} = \frac{19.7 + 6.708}{5} = \frac{26.408}{5} = 5.2816$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 5.2816, — это 6.

Ответ: 6.

г) Дана прогрессия $a_n = n(\sqrt{5}-1) - 3\sqrt{5}$ и число $A = 5$.

Составим и решим неравенство $a_n > A$:

$n(\sqrt{5}-1) - 3\sqrt{5} > 5$

$n(\sqrt{5}-1) > 5 + 3\sqrt{5}$

Так как $\sqrt{5} > 1$, то $\sqrt{5}-1 > 0$, поэтому при делении знак неравенства сохраняется:

$n > \frac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+1$:

$n > \frac{(5 + 3\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5\sqrt{5} + 5 \cdot 1 + 3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$

$n > \frac{5\sqrt{5} + 5 + 3 \cdot 5 + 3\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{8\sqrt{5} + 20}{4} = 2\sqrt{5} + 5$

Оценим значение правой части, используя приближение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$n > 2 \cdot 2.236 + 5 = 4.472 + 5 = 9.472$

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 9.472, — это 10.

Ответ: 10.