Номер 16.66, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.66 Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

Высота, на которую альпинисты поднимались каждый день, представляет собой убывающую арифметическую прогрессию. Обозначим ее параметры:
$a_1$ — высота подъема в первый день, $a_1 = 1400$ м.
$d$ — разность прогрессии, то есть величина, на которую уменьшается высота подъема каждый следующий день, $d = -100$ м.
$S_n$ — общая высота, которую нужно покорить, $S_n = 5000$ м.
$n$ — искомое количество дней.

Для нахождения количества дней $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:
$5000 = \frac{2 \cdot 1400 + (-100)(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:
$5000 = \frac{2800 - 100n + 100}{2} \cdot n$
$10000 = (2900 - 100n) \cdot n$
$10000 = 2900n - 100n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$100n^2 - 2900n + 10000 = 0$

Разделим обе части уравнения на 100 для упрощения вычислений:
$n^2 - 29n + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Теперь найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два положительных корня: 4 и 25. Вопрос "за сколько дней они покорили высоту" подразумевает нахождение наименьшего количества дней, за которое была достигнута отметка в 5000 м. Высота 5000 м будет достигнута за 4 дня. Корень $n=25$ не имеет практического смысла в контексте восхождения, так как после 14-го дня подъем становится отрицательным (альпинисты спускаются), хотя математически сумма снова может стать равной 5000 м. Поэтому мы выбираем наименьшее положительное решение.

Ответ: 4 дня.