Номер 17.2, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.2 Дана возрастающая последовательность всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен её знаменатель?

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Заданная возрастающая последовательность состоит из всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Обозначим члены этой последовательности через $b_n$. Поскольку показатели степеней являются натуральными числами, то $n$ принимает значения $1, 2, 3, \dots$.
Общий член последовательности имеет вид: $b_n = 3^n$.
Таким образом, последовательность представляет собой ряд чисел: $b_1 = 3^1=3$, $b_2 = 3^2=9$, $b_3 = 3^3=27$, и так далее.

По определению, числовая последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно. Это постоянное число называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой $q$.
Чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, найдем отношение $(n+1)$-го члена $b_{n+1}$ к $n$-му члену $b_n$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{(n+1)-n} = 3^1 = 3$.

Поскольку отношение $q$ является постоянной величиной (константой), равной 3, для любых двух соседних членов, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Чему равен её знаменатель?

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это то самое постоянное отношение, которое было вычислено при ответе на первый вопрос.
Как мы установили, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = 3$.
Это значение не зависит от выбора конкретной пары соседних членов, например:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{3^2}{3^1} = \frac{9}{3} = 3$;
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{3^3}{3^2} = \frac{27}{9} = 3$.
Следовательно, знаменатель данной геометрической прогрессии равен 3.

Ответ: знаменатель этой прогрессии равен 3.