Номер 16.70, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.70 Докажите, что если числа $\frac{1}{a+b}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{c+b}$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Поскольку по условию задачи числа $ \frac{1}{a+b} $, $ \frac{1}{a+c} $, $ \frac{1}{c+b} $ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для трех членов это означает, что второй член равен полусумме первого и третьего:

$ \frac{1}{a+c} = \frac{\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b}}{2} $

Умножим обе части равенства на 2:

$ \frac{2}{a+c} = \frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b} $

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю:

$ \frac{2}{a+c} = \frac{(c+b) + (a+b)}{(a+b)(c+b)} $

$ \frac{2}{a+c} = \frac{a+2b+c}{ac+ab+bc+b^2} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$ 2(ac+ab+bc+b^2) = (a+c)(a+2b+c) $

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$ 2ac + 2ab + 2bc + 2b^2 = a^2 + 2ab + ac + ac + 2bc + c^2 $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 2ac + 2ab + 2bc + 2b^2 = a^2 + 2ac + c^2 + 2ab + 2bc $

Вычтем из обеих частей равенства выражение $ 2ac + 2ab + 2bc $:

$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Теперь рассмотрим последовательность чисел $ a^2, b^2, c^2 $. Для того чтобы эти числа образовывали арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось аналогичное характеристическое свойство, то есть чтобы средний член $ b^2 $ был равен среднему арифметическому крайних членов $ a^2 $ и $ c^2 $:

$ b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2} $

Умножив это равенство на 2, мы получим:

$ 2b^2 = a^2 + c^2 $

Мы видим, что условие, при котором числа $ a^2, b^2, c^2 $ образуют арифметическую прогрессию, в точности совпадает с равенством, которое мы вывели из условия для первой последовательности. Следовательно, если числа $ \frac{1}{a+b} $, $ \frac{1}{a+c} $, $ \frac{1}{c+b} $ образуют арифметическую прогрессию, то и числа $ a^2, b^2, c^2 $ также образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано.