Номер 17.4, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.4 a) 3, 9, 27, 81, 243, ...;

б) 3, 6, 9, 12, 15, ...;

в) $4, -1, \frac{1}{4}, -\frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \ldots$;

г) $\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{9}, \ldots$

¹ Здесь и далее в этом параграфе через $q$ обозначен знаменатель геометрической прогрессии.

а) 3, 9, 27, 81, 243, ...

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, необходимо проверить, постоянно ли отношение между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом. Это отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{9}{3} = 3$.

Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{27}{9} = 3$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{81}{27} = 3$.

Найдем отношение пятого члена к четвертому:
$q = \frac{243}{81} = 3$.

Так как отношение постоянно и равно 3, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 3$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$.

б) 3, 6, 9, 12, 15, ...

Проверим, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдя отношение последующих членов к предыдущим.

Отношение второго члена к первому:
$\frac{6}{3} = 2$.

Отношение третьего члена ко второму:
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Поскольку $2 \neq 1.5$, отношение не является постоянной величиной, следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность $d$ между последующим и предыдущим членами.

$d = 6 - 3 = 3$.
$d = 9 - 6 = 3$.
$d = 12 - 9 = 3$.
$d = 15 - 12 = 3$.

Разность постоянна и равна 3, значит, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 3$.

Ответ: данная последовательность не является геометрической, это арифметическая прогрессия с разностью $d=3$.

в) 4, –1, $\frac{1}{4}$, –$\frac{1}{16}$, $\frac{1}{64}$, ...

Найдем знаменатель прогрессии $q$, чтобы проверить, является ли она геометрической.

Отношение второго члена к первому:
$q = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$.

Отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{1/4}{-1} = -\frac{1}{4}$.

Отношение четвертого члена к третьему:
$q = \frac{-1/16}{1/4} = -\frac{1}{16} \cdot \frac{4}{1} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$.

Отношение пятого члена к четвертому:
$q = \frac{1/64}{-1/16} = \frac{1}{64} \cdot (-\frac{16}{1}) = -\frac{16}{64} = -\frac{1}{4}$.

Отношение постоянно и равно $-\frac{1}{4}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 4$ и знаменателем $q = -\frac{1}{4}$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = -\frac{1}{4}$.

г) $\sqrt{3}$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\frac{4\sqrt{3}}{9}$, ...

Найдем знаменатель прогрессии $q$, чтобы проверить, является ли она геометрической.

Отношение второго члена к первому:
$q = \frac{2\sqrt{3}/3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$.

Отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{4\sqrt{3}/9}{2\sqrt{3}/3} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение постоянно и равно $\frac{2}{3}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \sqrt{3}$ и знаменателем $q = \frac{2}{3}$.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2}{3}$.