Страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.61 Сумма цифр четырёхзначного числа равна 16. Найдите это число, если известно, что его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.

Обозначим цифры искомого четырёхзначного числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$ в порядке их следования (цифра тысяч, сотен, десятков и единиц соответственно).

Согласно условиям задачи, мы имеем следующую информацию:

1. Сумма цифр равна 16:
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 16$

2. Цифры образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $a$ (то есть $a_1 = a$), а её разность как $d$. Тогда все цифры можно выразить через $a$ и $d$:
$a_1 = a$
$a_2 = a + d$
$a_3 = a + 2d$
$a_4 = a + 3d$

3. Цифра единиц ($a_4$) на 4 больше цифры сотен ($a_2$):
$a_4 = a_2 + 4$

Теперь последовательно используем эти условия для нахождения числа. Подставим выражения для $a_2$ и $a_4$ из пункта 2 в уравнение из пункта 3:
$(a + 3d) = (a + d) + 4$

Решим это уравнение, чтобы найти разность прогрессии $d$:
$a + 3d = a + d + 4$
$3d - d = 4$
$2d = 4$
$d = 2$

Мы выяснили, что разность прогрессии равна 2. Теперь мы можем выразить все цифры через первый член $a$:
$a_1 = a$
$a_2 = a + 2$
$a_3 = a + 4$
$a_4 = a + 6$

Теперь подставим эти выражения в первое условие — о сумме цифр:
$a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) = 16$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a + 12 = 16$
$4a = 16 - 12$
$4a = 4$
$a = 1$

Итак, первый член прогрессии (и первая цифра числа) равен 1. Теперь найдем остальные цифры:
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + 2 = 3$
$a_3 = 1 + 4 = 5$
$a_4 = 1 + 6 = 7$

Цифры искомого числа — 1, 3, 5, 7. Все они являются однозначными, и первая цифра не ноль, что необходимо для четырёхзначного числа. Таким образом, искомое число — 1357.

Проверим результат:
1. Сумма цифр: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Условие выполнено.
2. Цифры 1, 3, 5, 7 образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$. Условие выполнено.
3. Цифра единиц (7) на 4 больше цифры сотен (3): $7 = 3 + 4$. Условие выполнено.

Ответ: 1357.

16.62 Числа $-100$ и $-78$ являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму её первых двадцати членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию, её седьмой член $a_7 = -100$, а девятый член $a_9 = -78$.

Для решения задачи сначала найдём разность прогрессии $d$ и её первый член $a_1$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Разность между любыми двумя членами прогрессии $a_m$ и $a_k$ можно выразить как $a_m - a_k = (m-k)d$. Используем эту зависимость для $a_9$ и $a_7$:
$a_9 = a_7 + (9-7)d$
Подставим известные значения:
$-78 = -100 + 2d$
$2d = 100 - 78$
$2d = 22$
$d = 11$

Теперь, зная разность $d=11$, найдём первый член $a_1$, используя формулу для седьмого члена $a_7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$-100 = a_1 + 6 \cdot 11$
$-100 = a_1 + 66$
$a_1 = -100 - 66$
$a_1 = -166$

Пятнадцатый член этой прогрессии
Теперь, когда мы знаем первый член $a_1 = -166$ и разность $d=11$, мы можем найти пятнадцатый член прогрессии $a_{15}$ по формуле n-го члена:
$a_{15} = a_1 + (15-1)d$
$a_{15} = -166 + 14 \cdot 11$
$a_{15} = -166 + 154$
$a_{15} = -12$

Ответ: -12.

Сумма её первых двадцати членов
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Найдём сумму первых двадцати членов $S_{20}$, подставив $n=20$, $a_1 = -166$ и $d=11$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-166) + (20-1) \cdot 11}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-166) + 19 \cdot 11) \cdot 10$
$S_{20} = (-332 + 209) \cdot 10$
$S_{20} = -123 \cdot 10$
$S_{20} = -1230$

Ответ: -1230.

16.63 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Пусть $n$ — это количество промахов, которые совершил стрелок. Штрафные очки за каждый промах образуют арифметическую прогрессию.За первый промах ($a_1$) стрелок получает 1 штрафное очко. За каждый последующий промах начисляется на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Это означает, что разность арифметической прогрессии ($d$) равна 0,5.

Сумма всех штрафных очков ($S_n$) по условию равна 7. Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой известны следующие параметры:

Первый член $a_1 = 1$;
Разность $d = 0.5$;
Сумма первых $n$ членов $S_n = 7$.

Воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти количество промахов $n$:$7 = \frac{2 \cdot 1 + 0.5(n-1)}{2} \cdot n$

Решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 2:$14 = (2 + 0.5(n-1)) \cdot n$$14 = (2 + 0.5n - 0.5) \cdot n$$14 = (1.5 + 0.5n) \cdot n$$14 = 1.5n + 0.5n^2$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение еще раз на 2:$28 = 3n + n^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$n^2 + 3n - 28 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество промахов ($n$) не может быть отрицательным числом, то единственное подходящее решение — это $n = 4$. Таким образом, стрелок совершил 4 промаха.

В условии сказано, что серия состоит из 25 выстрелов. Чтобы найти, сколько раз стрелок попал в цель, нужно из общего количества выстрелов вычесть количество промахов:$25 - 4 = 21$

Ответ: 21.

16.64 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 5 капель, доводя его до пяти капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?

Для решения задачи необходимо рассчитать общее количество капель лекарства, которое больной примет за весь курс лечения. Курс можно разбить на три этапа: увеличение дозы, прием постоянной дозы и уменьшение дозы.

Этап 1: Увеличение дозы.

Прием лекарства начинается с 5 капель и ежедневно увеличивается на 5 капель, пока не достигнет 40 капель. Количество капель по дням образует арифметическую прогрессию.
Первый член прогрессии $a_1 = 5$.
Разность прогрессии $d = 5$.
Последний член прогрессии $a_n = 40$.
Сначала найдем количество дней $n$ на этом этапе по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$40 = 5 + (n-1) \cdot 5$

$35 = (n-1) \cdot 5$

$n-1 = \frac{35}{5} = 7$

$n = 8$ дней.

Теперь рассчитаем общее количество капель ($S_1$) за этот период по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_1 = \frac{5 + 40}{2} \cdot 8 = \frac{45}{2} \cdot 8 = 45 \cdot 4 = 180$ капель.

Этап 2: Прием постоянной дозы.

Больной принимает по 40 капель в день в течение 3 дней. Общее количество капель ($S_2$) на этом этапе:

$S_2 = 40 \text{ капель/день} \cdot 3 \text{ дня} = 120$ капель.

Этап 3: Уменьшение дозы.

После приема максимальной дозы, прием ежедневно уменьшается на 5 капель до 5 капель в последний день. Эта последовательность также является арифметической прогрессией. Прием начинается со следующего дня, поэтому первая доза в этой фазе составляет $40 - 5 = 35$ капель.
Первый член прогрессии $b_1 = 35$.
Последний член $b_m = 5$.
Разность $d = -5$.
Найдем количество дней $m$ на этом этапе:

$b_m = b_1 + (m-1)d$

$5 = 35 + (m-1) \cdot (-5)$

$-30 = (m-1) \cdot (-5)$

$m-1 = \frac{-30}{-5} = 6$

$m = 7$ дней.

Общее количество капель ($S_3$) за этот период:

$S_3 = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{35 + 5}{2} \cdot 7 = \frac{40}{2} \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140$ капель.

Общий расчет.

Теперь сложим количество капель со всех трех этапов, чтобы найти общее количество ($S_{общ}$), необходимое на весь курс:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 180 + 120 + 140 = 440$ капель.

В каждом пузырьке содержится 200 капель. Чтобы найти необходимое количество пузырьков, разделим общее количество капель на количество капель в одном пузырьке:

Количество пузырьков = $\frac{440}{200} = 2.2$

Поскольку 2 пузырьков будет недостаточно (это $2 \cdot 200 = 400$ капель), а купить можно только целое число пузырьков, необходимо приобрести 3 пузырька.

Ответ: больному нужно купить 3 пузырька лекарства.

16.65 Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?

Движение улитки представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член — это расстояние, которое улитка проползает за очередную минуту.

Определим параметры этой арифметической прогрессии. Первый член прогрессии, $a_1$, — это расстояние, пройденное за первую минуту, то есть $a_1 = 30$ см. Разность прогрессии, $d$, — это величина, на которую увеличивается расстояние каждую следующую минуту, то есть $d = 5$ см. Общее расстояние, которое нужно проползти, — это высота дерева, которая является суммой всех членов прогрессии $S_n$. Переведем высоту дерева в сантиметры: $5,25 \text{ м} = 5,25 \times 100 \text{ см} = 525 \text{ см}$. Таким образом, $S_n = 525$ см.

Нам необходимо найти время $n$ в минутах, что соответствует количеству членов в этой прогрессии. Для этого используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \times n$

Подставим известные значения в формулу:

$525 = \frac{2 \times 30 + 5(n-1)}{2} \times n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$525 = \frac{60 + 5n - 5}{2} \times n$

$525 = \frac{55 + 5n}{2} \times n$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1050 = (55 + 5n) \times n$

$1050 = 55n + 5n^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$5n^2 + 55n - 1050 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$n^2 + 11n - 210 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 11^2 - 4 \times 1 \times (-210) = 121 + 840 = 961$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-11 + 31}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-11 - 31}{2 \times 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку время $n$ не может быть отрицательным, корень $n_2 = -21$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 10$.

Ответ: 10 минут.

16.66 Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

Высота, на которую альпинисты поднимались каждый день, представляет собой убывающую арифметическую прогрессию. Обозначим ее параметры:
$a_1$ — высота подъема в первый день, $a_1 = 1400$ м.
$d$ — разность прогрессии, то есть величина, на которую уменьшается высота подъема каждый следующий день, $d = -100$ м.
$S_n$ — общая высота, которую нужно покорить, $S_n = 5000$ м.
$n$ — искомое количество дней.

Для нахождения количества дней $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:
$5000 = \frac{2 \cdot 1400 + (-100)(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:
$5000 = \frac{2800 - 100n + 100}{2} \cdot n$
$10000 = (2900 - 100n) \cdot n$
$10000 = 2900n - 100n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$100n^2 - 2900n + 10000 = 0$

Разделим обе части уравнения на 100 для упрощения вычислений:
$n^2 - 29n + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Теперь найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два положительных корня: 4 и 25. Вопрос "за сколько дней они покорили высоту" подразумевает нахождение наименьшего количества дней, за которое была достигнута отметка в 5000 м. Высота 5000 м будет достигнута за 4 дня. Корень $n=25$ не имеет практического смысла в контексте восхождения, так как после 14-го дня подъем становится отрицательным (альпинисты спускаются), хотя математически сумма снова может стать равной 5000 м. Поэтому мы выбираем наименьшее положительное решение.

Ответ: 4 дня.

16.67 Три числа в заданном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите среднее число, если известно, что утроенная сумма крайних чисел равна 234.

Пусть три числа, которые в заданном порядке образуют арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$.

По характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседей. Для среднего члена $a_2$ это означает:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Из этой формулы можно выразить сумму крайних членов прогрессии ($a_1$ и $a_3$) через средний член $a_2$:

$a_1 + a_3 = 2a_2$

Согласно условию задачи, утроенная сумма крайних чисел равна 234. Запишем это условие в виде математического уравнения:

$3 \cdot (a_1 + a_3) = 234$

Теперь мы можем подставить выражение $2a_2$ вместо суммы $(a_1 + a_3)$ в это уравнение:

$3 \cdot (2a_2) = 234$

$6a_2 = 234$

Чтобы найти искомое среднее число $a_2$, разделим обе части уравнения на 6:

$a_2 = \frac{234}{6}$

$a_2 = 39$

Ответ: 39.

16.68 Найдите те значения x, при которых данные числа в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию:

а) $x - 4, \sqrt{x - 3}, x - 6;$

б) $4x + 6, \sqrt{5 - 4x}, -x - 1.$

а)

Данные числа $x - 4$, $\sqrt{x-3}$ и $x - 6$ образуют арифметическую прогрессию, если средний член является средним арифметическим двух крайних. Это свойство можно записать в виде формулы: $2a_2 = a_1 + a_3$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь применим свойство арифметической прогрессии к данным числам:

$2\sqrt{x-3} = (x - 4) + (x - 6)$

$2\sqrt{x-3} = 2x - 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x-3} = x - 5$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной (так как значение квадратного корня не может быть отрицательным):

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

Это условие ($x \ge 5$) является более строгим, чем ОДЗ ($x \ge 3$), поэтому будем использовать его.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x-3} = x - 5$ в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (x-5)^2$

$x - 3 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 28. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 5$:

• Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 5$, значит, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 5$, значит, это искомое решение.

Ответ: $x = 7$.

б)

Данные числа $4x + 6$, $\sqrt{5-4x}$ и $-x - 1$ образуют арифметическую прогрессию, если выполняется равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:

$5 - 4x \ge 0 \implies 5 \ge 4x \implies x \le \frac{5}{4}$.

Подставим выражения в характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$2\sqrt{5-4x} = (4x + 6) + (-x - 1)$

$2\sqrt{5-4x} = 3x + 5$

Прежде чем возводить в квадрат, убедимся, что правая часть уравнения неотрицательна:

$3x + 5 \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$.

Таким образом, решение должно удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{4} \\ x \ge -\frac{5}{3} \end{cases}$, что соответствует интервалу $[-\frac{5}{3}, \frac{5}{4}]$.

Возведем обе части уравнения $2\sqrt{5-4x} = 3x + 5$ в квадрат:

$4(5-4x) = (3x+5)^2$

$20 - 16x = 9x^2 + 30x + 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$9x^2 + 30x + 16x + 25 - 20 = 0$

$9x^2 + 46x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 46^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 2116 - 180 = 1936$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$.

$x_1 = \frac{-46 - 44}{2 \cdot 9} = \frac{-90}{18} = -5$

$x_2 = \frac{-46 + 44}{2 \cdot 9} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни интервалу $[-\frac{5}{3}, \frac{5}{4}]$:

• Корень $x_1 = -5$. Так как $-5 < -\frac{5}{3}$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним.
• Корень $x_2 = -\frac{1}{9}$. Так как $-\frac{5}{3} \approx -1.67$, а $\frac{5}{4} = 1.25$, то $-\frac{5}{3} < -\frac{1}{9} < \frac{5}{4}$. Этот корень подходит.

Ответ: $x = -\frac{1}{9}$.