Страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.35 Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии ($a_n$), если известно, что:

а) $a_1 = -12, d = 2;$

б) $a_1 = 1,5, d = 0,5;$

в) $a_1 = 73, d = -1;$

г) $a_1 = -7,3, d = -1,1.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам необходимо найти сумму первых ста членов, то есть $n = 100$.

а) Дано: $a_1 = -12$, $d = 2$.

Подставляем значения в формулу для $S_{100}$:

$S_{100} = \frac{2 \cdot (-12) + 2 \cdot (100 - 1)}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{-24 + 2 \cdot 99}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{-24 + 198}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{174}{2} \cdot 100$

$S_{100} = 87 \cdot 100 = 8700$

Ответ: 8700.

б) Дано: $a_1 = 1,5$, $d = 0,5$.

Подставляем значения в формулу для $S_{100}$:

$S_{100} = \frac{2 \cdot 1,5 + 0,5 \cdot (100 - 1)}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{3 + 0,5 \cdot 99}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{3 + 49,5}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{52,5}{2} \cdot 100$

$S_{100} = 26,25 \cdot 100 = 2625$

Ответ: 2625.

в) Дано: $a_1 = 73$, $d = -1$.

Подставляем значения в формулу для $S_{100}$:

$S_{100} = \frac{2 \cdot 73 + (-1) \cdot (100 - 1)}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{146 - 99}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{47}{2} \cdot 100$

$S_{100} = 23,5 \cdot 100 = 2350$

Ответ: 2350.

г) Дано: $a_1 = -7,3$, $d = -1,1$.

Подставляем значения в формулу для $S_{100}$:

$S_{100} = \frac{2 \cdot (-7,3) + (-1,1) \cdot (100 - 1)}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{-14,6 - 1,1 \cdot 99}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{-14,6 - 108,9}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{-123,5}{2} \cdot 100$

$S_{100} = -61,75 \cdot 100 = -6175$

Ответ: -6175.

16.36 Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если известно, что:

а) $a_1 = -3, d = 1,5, n = 16;$

б) $a_1 = 121, d = -3,1, n = 25;$

в) $a_1 = -2,5, d = -0,5, n = 40;$

г) $a_1 = 4,5, d = 0,4, n = 100.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

а)

Дано: $a_1 = -3$, $d = 1,5$, $n = 16$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{16} = \frac{2 \cdot (-3) + 1,5 \cdot (16-1)}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{-6 + 1,5 \cdot 15}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{-6 + 22,5}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = \frac{16,5}{2} \cdot 16$$

$$S_{16} = 16,5 \cdot 8 = 132$$

Ответ: 132.

б)

Дано: $a_1 = 121$, $d = -3,1$, $n = 25$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{25} = \frac{2 \cdot 121 + (-3,1) \cdot (25-1)}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{242 - 3,1 \cdot 24}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{242 - 74,4}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = \frac{167,6}{2} \cdot 25$$

$$S_{25} = 83,8 \cdot 25 = 2095$$

Ответ: 2095.

в)

Дано: $a_1 = -2,5$, $d = -0,5$, $n = 40$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{40} = \frac{2 \cdot (-2,5) + (-0,5) \cdot (40-1)}{2} \cdot 40$$

$$S_{40} = (2 \cdot (-2,5) + (-0,5) \cdot 39) \cdot \frac{40}{2}$$

$$S_{40} = (-5 - 19,5) \cdot 20$$

$$S_{40} = -24,5 \cdot 20 = -490$$

Ответ: -490.

г)

Дано: $a_1 = 4,5$, $d = 0,4$, $n = 100$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$S_{100} = \frac{2 \cdot 4,5 + 0,4 \cdot (100-1)}{2} \cdot 100$$

$$S_{100} = (2 \cdot 4,5 + 0,4 \cdot 99) \cdot \frac{100}{2}$$

$$S_{100} = (9 + 39,6) \cdot 50$$

$$S_{100} = 48,6 \cdot 50 = 2430$$

Ответ: 2430.

16.37 Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена:

а) $a_n = 4n + 3;$

б) $a_n = 0.5n - 3;$

в) $a_n = -2n + 8;$

г) $a_n = -2.5n - 6.$

Чтобы найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, мы будем использовать формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае $n=30$, поэтому формула принимает вид $S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30$. Для каждого случая нам нужно сначала вычислить первый ($a_1$) и тридцатый ($a_{30}$) члены прогрессии, используя заданную формулу $n$-го члена.

а) $a_n = 4n + 3$

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$

2. Найдем тридцатый член прогрессии, подставив $n=30$ в формулу:

$a_{30} = 4 \cdot 30 + 3 = 120 + 3 = 123$

3. Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{7 + 123}{2} \cdot 30 = \frac{130}{2} \cdot 30 = 65 \cdot 30 = 1950$

Ответ: 1950.

б) $a_n = 0,5n - 3$

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$):

$a_1 = 0,5 \cdot 1 - 3 = 0,5 - 3 = -2,5$

2. Найдем тридцатый член прогрессии ($a_{30}$):

$a_{30} = 0,5 \cdot 30 - 3 = 15 - 3 = 12$

3. Вычислим сумму $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-2,5 + 12}{2} \cdot 30 = \frac{9,5}{2} \cdot 30 = 9,5 \cdot 15 = 142,5$

Ответ: 142,5.

в) $a_n = -2n + 8$

1. Найдем $a_1$ при $n=1$:

$a_1 = -2 \cdot 1 + 8 = -2 + 8 = 6$

2. Найдем $a_{30}$ при $n=30$:

$a_{30} = -2 \cdot 30 + 8 = -60 + 8 = -52$

3. Вычислим сумму $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{6 + (-52)}{2} \cdot 30 = \frac{-46}{2} \cdot 30 = -23 \cdot 30 = -690$

Ответ: -690.

г) $a_n = -2,5n - 6$

1. Найдем первый член прогрессии:

$a_1 = -2,5 \cdot 1 - 6 = -2,5 - 6 = -8,5$

2. Найдем тридцатый член прогрессии:

$a_{30} = -2,5 \cdot 30 - 6 = -75 - 6 = -81$

3. Вычислим сумму первых тридцати членов:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-8,5 + (-81)}{2} \cdot 30 = \frac{-89,5}{2} \cdot 30 = -89,5 \cdot 15 = -1342,5$

Ответ: -1342,5.

16.38 Для арифметической прогрессии ($a_n$) заполните таблицу:

Для решения задачи будем использовать формулы для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и суммы первых n членов $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Строка 1

Дано: $a_1 = 7$, $d = 4$, $n = 13$.

Требуется найти $a_n$ и $S_n$.

1. Найдем $n$-й член прогрессии, в данном случае $a_{13}$:

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = 7 + 12 \cdot 4 = 7 + 48 = 55$.

2. Найдем сумму первых 13 членов $S_{13}$:

$S_{13} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2}(7 + 55) = \frac{13}{2} \cdot 62 = 13 \cdot 31 = 403$.

Ответ: $a_n = 55$, $S_n = 403$.

Строка 2

Дано: $a_1 = 2$, $d = 2$, $a_n = 80$.

Требуется найти $n$ и $S_n$.

1. Найдем номер члена $n$ из формулы для $n$-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$80 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$78 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{78}{2} = 39$

$n = 39 + 1 = 40$.

2. Найдем сумму первых 40 членов $S_{40}$:

$S_{40} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{40}{2}(2 + 80) = 20 \cdot 82 = 1640$.

Ответ: $n = 40$, $S_n = 1640$.

Строка 3

Дано: $a_1 = 56$, $a_n = 26$, $n = 11$.

Требуется найти $d$ и $S_n$.

1. Найдем разность прогрессии $d$ из формулы для $n$-го члена $a_{11} = 26$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$26 = 56 + 10d$

$10d = 26 - 56 = -30$

$d = -3$.

2. Найдем сумму первых 11 членов $S_{11}$:

$S_{11} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{11}{2}(56 + 26) = \frac{11}{2} \cdot 82 = 11 \cdot 41 = 451$.

Ответ: $d = -3$, $S_n = 451$.

Строка 4

Дано: $a_1 = 2$, $a_n = 87$, $S_n = 801$.

Требуется найти $d$ и $n$.

1. Найдем количество членов $n$ из формулы суммы:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

$801 = \frac{n}{2}(2 + 87) = \frac{n}{2} \cdot 89$

$n = \frac{801 \cdot 2}{89} = 9 \cdot 2 = 18$.

2. Зная, что $n=18$ и $a_{18}=87$, найдем разность прогрессии $d$:

$a_{18} = a_1 + (18-1)d$

$87 = 2 + 17d$

$17d = 87 - 2 = 85$

$d = \frac{85}{17} = 5$.

Ответ: $d = 5$, $n = 18$.

Строка 5

Дано: $a_n = 21$, $n = 7$, $S_n = 105$.

Требуется найти $a_1$ и $d$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$ из формулы суммы $S_7 = 105$:

$S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7)$

$105 = \frac{7}{2}(a_1 + 21)$

$105 \cdot \frac{2}{7} = a_1 + 21$

$15 \cdot 2 = a_1 + 21$

$30 = a_1 + 21$

$a_1 = 30 - 21 = 9$.

2. Зная $a_1=9$, $a_7=21$ и $n=7$, найдем разность $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$21 = 9 + 6d$

$6d = 21 - 9 = 12$

$d = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $a_1 = 9$, $d = 2$.

16.39 Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_4 = 10, a_{10} = 19.$

Для нахождения суммы первых десяти членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае $n=10$, и нам известен член $a_{10} = 19$. Следовательно, для вычисления суммы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Чтобы найти $a_1$, сначала определим разность арифметической прогрессии $d$, используя известные члены $a_4 = 10$ и $a_{10} = 19$.

1. Нахождение разности прогрессии $d$.

Связь между любыми двумя членами арифметической прогрессии $a_n$ и $a_k$ выражается формулой $a_n = a_k + (n-k)d$. Подставим в нее наши данные:

$a_{10} = a_4 + (10-4)d$

$19 = 10 + 6d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$6d = 19 - 10$

$6d = 9$

$d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

2. Нахождение первого члена прогрессии $a_1$.

Формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_1$ через известный член $a_4$ и найденную разность $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d$

$10 = a_1 + 3 \cdot 1.5$

$10 = a_1 + 4.5$

$a_1 = 10 - 4.5$

$a_1 = 5.5$

3. Вычисление суммы первых десяти членов $S_{10}$.

Теперь, зная $a_1 = 5.5$ и $a_{10} = 19$, мы можем вычислить сумму $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{5.5 + 19}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{24.5}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 12.25 \cdot 10$

$S_{10} = 122.5$

Ответ: 122,5

16.40 a) Зная, что $a_{11} + a_{13} = 122$, найдите $a_{12}$;

б) зная, что $a_{19} = 5$, найдите $a_{18} + a_{20}$;

в) зная, что $a_{15} + a_{17} = -2$, найдите $a_{16}$;

г) зная, что $a_7 = 4$, найдите $a_6 + a_8$.

а) В арифметической прогрессии $(a_n)$ каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов. Это свойство называется характеристическим свойством арифметической прогрессии и выражается формулой $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.В данном случае, член $a_{12}$ находится между $a_{11}$ и $a_{13}$. Следовательно, мы можем применить эту формулу:$a_{12} = \frac{a_{11} + a_{13}}{2}$.По условию задачи, $a_{11} + a_{13} = 122$. Подставим это значение в формулу:$a_{12} = \frac{122}{2} = 61$.
Ответ: 61

б) Используем то же характеристическое свойство арифметической прогрессии. Член $a_{19}$ является средним арифметическим для $a_{18}$ и $a_{20}$:$a_{19} = \frac{a_{18} + a_{20}}{2}$.Из этой формулы мы можем выразить сумму $a_{18} + a_{20}$:$a_{18} + a_{20} = 2 \cdot a_{19}$.По условию нам дано, что $a_{19} = 5$. Подставим это значение:$a_{18} + a_{20} = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

в) Эта задача аналогична задаче из пункта а). Член $a_{16}$ расположен между членами $a_{15}$ и $a_{17}$. Применяем свойство среднего арифметического:$a_{16} = \frac{a_{15} + a_{17}}{2}$.В условии сказано, что $a_{15} + a_{17} = -2$. Подставляем данное значение в нашу формулу:$a_{16} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: -1

г) Эта задача аналогична задаче из пункта б). Член $a_7$ является средним арифметическим для своих соседей $a_6$ и $a_8$:$a_7 = \frac{a_6 + a_8}{2}$.Отсюда выразим сумму, которую нам нужно найти:$a_6 + a_8 = 2 \cdot a_7$.По условию $a_7 = 4$. Подставляем это значение:$a_6 + a_8 = 2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8

16.41 a) Зная, что $a_1 + a_{20} = 64$, найдите $a_2 + a_{19}$;

б) Зная, что $a_3 + a_{17} = -40$, найдите $a_1 + a_{19}$;

в) Зная, что $a_2 + a_{15} = 25$, найдите $a_1 + a_{16}$;

г) Зная, что $a_1 + a_{25} = -10$, найдите $a_{10} + a_{16}$.

Для решения всех пунктов задачи предполагается, что последовательность $a_n$ является арифметической прогрессией. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма двух членов прогрессии $a_k$ и $a_m$ равна сумме двух других членов $a_p$ и $a_q$, если суммы их индексов равны, то есть, если $k + m = p + q$.

Это свойство легко доказывается с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии:

$a_k + a_m = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (m-1)d) = 2a_1 + (k+m-2)d$.

$a_p + a_q = (a_1 + (p-1)d) + (a_1 + (q-1)d) = 2a_1 + (p+q-2)d$.

Если $k+m = p+q$, то и правые части этих равенств равны, а значит, $a_k + a_m = a_p + a_q$.

а)

Нам дано, что $a_1 + a_{20} = 64$. Сумма индексов в этом выражении равна $1 + 20 = 21$.

Нам нужно найти сумму $a_2 + a_{19}$. Сумма индексов здесь равна $2 + 19 = 21$.

Поскольку суммы индексов равны ($1 + 20 = 2 + 19$), то и суммы соответствующих членов прогрессии будут равны:

$a_2 + a_{19} = a_1 + a_{20} = 64$.

Ответ: 64

б)

Нам дано, что $a_3 + a_{17} = -40$. Сумма индексов: $3 + 17 = 20$.

Требуется найти сумму $a_1 + a_{19}$. Сумма индексов: $1 + 19 = 20$.

Так как $3 + 17 = 1 + 19$, то $a_3 + a_{17} = a_1 + a_{19}$.

Следовательно, $a_1 + a_{19} = -40$.

Ответ: -40

в)

Нам дано, что $a_2 + a_{15} = 25$. Сумма индексов: $2 + 15 = 17$.

Требуется найти сумму $a_1 + a_{16}$. Сумма индексов: $1 + 16 = 17$.

Так как $2 + 15 = 1 + 16$, то $a_2 + a_{15} = a_1 + a_{16}$.

Следовательно, $a_1 + a_{16} = 25$.

Ответ: 25

г)

Нам дано, что $a_1 + a_{25} = -10$. Сумма индексов: $1 + 25 = 26$.

Требуется найти сумму $a_{10} + a_{16}$. Сумма индексов: $10 + 16 = 26$.

Так как $1 + 25 = 10 + 16$, то $a_1 + a_{25} = a_{10} + a_{16}$.

Следовательно, $a_{10} + a_{16} = -10$.

Ответ: -10