Номер 16.37, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.37 Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена:

а) $a_n = 4n + 3;$

б) $a_n = 0.5n - 3;$

в) $a_n = -2n + 8;$

г) $a_n = -2.5n - 6.$

Чтобы найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, мы будем использовать формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае $n=30$, поэтому формула принимает вид $S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30$. Для каждого случая нам нужно сначала вычислить первый ($a_1$) и тридцатый ($a_{30}$) члены прогрессии, используя заданную формулу $n$-го члена.

а) $a_n = 4n + 3$

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$

2. Найдем тридцатый член прогрессии, подставив $n=30$ в формулу:

$a_{30} = 4 \cdot 30 + 3 = 120 + 3 = 123$

3. Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{7 + 123}{2} \cdot 30 = \frac{130}{2} \cdot 30 = 65 \cdot 30 = 1950$

Ответ: 1950.

б) $a_n = 0,5n - 3$

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$):

$a_1 = 0,5 \cdot 1 - 3 = 0,5 - 3 = -2,5$

2. Найдем тридцатый член прогрессии ($a_{30}$):

$a_{30} = 0,5 \cdot 30 - 3 = 15 - 3 = 12$

3. Вычислим сумму $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-2,5 + 12}{2} \cdot 30 = \frac{9,5}{2} \cdot 30 = 9,5 \cdot 15 = 142,5$

Ответ: 142,5.

в) $a_n = -2n + 8$

1. Найдем $a_1$ при $n=1$:

$a_1 = -2 \cdot 1 + 8 = -2 + 8 = 6$

2. Найдем $a_{30}$ при $n=30$:

$a_{30} = -2 \cdot 30 + 8 = -60 + 8 = -52$

3. Вычислим сумму $S_{30}$:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{6 + (-52)}{2} \cdot 30 = \frac{-46}{2} \cdot 30 = -23 \cdot 30 = -690$

Ответ: -690.

г) $a_n = -2,5n - 6$

1. Найдем первый член прогрессии:

$a_1 = -2,5 \cdot 1 - 6 = -2,5 - 6 = -8,5$

2. Найдем тридцатый член прогрессии:

$a_{30} = -2,5 \cdot 30 - 6 = -75 - 6 = -81$

3. Вычислим сумму первых тридцати членов:

$S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-8,5 + (-81)}{2} \cdot 30 = \frac{-89,5}{2} \cdot 30 = -89,5 \cdot 15 = -1342,5$

Ответ: -1342,5.