Номер 16.32, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.32 Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трёх равна $-21$, а сумма трёх последних чисел равна $-6$. Найдите эти числа.

Пусть четыре последовательных члена арифметической прогрессии обозначаются как $a_1, a_2, a_3, a_4$. По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член можно выразить через предыдущий, прибавив разность прогрессии $d$. Таким образом, мы можем выразить все четыре числа через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_1$
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$

По условию задачи, сумма первых трёх членов равна -21. Запишем это в виде уравнения:

$a_1 + a_2 + a_3 = -21$

Подставим в это уравнение выражения для $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = -21$

Упростим полученное выражение:

$3a_1 + 3d = -21$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + d = -7$

Также по условию, сумма трёх последних чисел равна -6. Запишем второе уравнение:

$a_2 + a_3 + a_4 = -6$

Подставим в него выражения для $a_2, a_3$ и $a_4$:

$(a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = -6$

Упростим это выражение:

$3a_1 + 6d = -6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 2d = -2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$$\begin{cases} a_1 + d = -7 \\ a_1 + 2d = -2 \end{cases}$$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 2d) - (a_1 + d) = -2 - (-7)$

$a_1 + 2d - a_1 - d = -2 + 7$

$d = 5$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d=5$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 5 = -7$

$a_1 = -7 - 5$

$a_1 = -12$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = -12$, а её разность $d=5$. Теперь можем найти все четыре числа:

$a_1 = -12$
$a_2 = a_1 + d = -12 + 5 = -7$
$a_3 = a_1 + 2d = -12 + 2 \cdot 5 = -12 + 10 = -2$
$a_4 = a_1 + 3d = -12 + 3 \cdot 5 = -12 + 15 = 3$

Проверим найденные числа. Сумма первых трёх: $-12 + (-7) + (-2) = -21$. Сумма трёх последних: $-7 + (-2) + 3 = -6$. Условия задачи выполняются.

Ответ: -12, -7, -2, 3.