Номер 16.26, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

16.26 Дана конечная арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $n$, если:

а) $a_1 = 1, d = \frac{2}{3}, a_n = 67;$

б) $a_1 = 0, d = 0.5, a_n = 5;$

в) $a_1 = -6, d = \frac{3}{4}, a_n = 10\frac{1}{2};$

г) $a_1 = -4.5, d = 5.5, a_n = 100.$

Для нахождения номера члена $n$ в конечной арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти $n$, выразим его из этой формулы:

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$n - 1 = \frac{a_n - a_1}{d}$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Применим полученную формулу для каждого из заданных случаев.

а) Для $a_1 = 1$, $d = \frac{2}{3}$ и $a_n = 67$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{67 - 1}{\frac{2}{3}} + 1 = \frac{66}{\frac{2}{3}} + 1 = 66 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 33 \cdot 3 + 1 = 99 + 1 = 100$.

Ответ: 100.

б) Для $a_1 = 0$, $d = 0,5$ и $a_n = 5$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{5 - 0}{0,5} + 1 = \frac{5}{0,5} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: 11.

в) Для $a_1 = -6$, $d = \frac{3}{4}$ и $a_n = 10\frac{1}{2}$ подставляем значения в формулу.

Сначала переведем смешанное число $10\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.

$n = \frac{\frac{21}{2} - (-6)}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{21}{2} + 6}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{21+12}{2}}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{\frac{33}{2}}{\frac{3}{4}} + 1 = \frac{33}{2} \cdot \frac{4}{3} + 1 = 11 \cdot 2 + 1 = 22 + 1 = 23$.

Ответ: 23.

г) Для $a_1 = -4,5$, $d = 5,5$ и $a_n = 100$ подставляем значения в формулу:

$n = \frac{100 - (-4,5)}{5,5} + 1 = \frac{100 + 4,5}{5,5} + 1 = \frac{104,5}{5,5} + 1 = 19 + 1 = 20$.

Ответ: 20.