Страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.4 Для завтрака на кусок белого, чёрного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.

б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток?

в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром?

г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на чёрный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.

Дерево вариантов завтрака строится на основе трёх последовательных выборов: тип хлеба, начинка для бутерброда и напиток.

• Белый хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
• Чёрный хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
• Ржаной хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир

Общее количество вариантов можно найти, перемножив количество опций на каждом шаге: 3 вида хлеба $\times$ 2 вида начинки $\times$ 3 вида напитка = 18 вариантов.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше. Всего существует 18 возможных вариантов завтрака.

б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток?

К молочным напиткам относятся молоко и кефир. Чай не является молочным напитком. Сначала определим, сколько всего существует вариантов бутербродов (хлеб + начинка).
Количество вариантов хлеба: 3 (белый, чёрный, ржаной).
Количество вариантов начинки: 2 (сыр, колбаса).
Количество вариантов бутербродов: $3 \times 2 = 6$.
Для каждого из 6 вариантов бутерброда можно выбрать один из 2 молочных напитков (молоко или кефир).
Следовательно, общее количество случаев, когда будет выбран молочный напиток, равно:
$6 \text{ (вариантов бутерброда)} \times 2 \text{ (молочных напитка)} = 12$.

Ответ: В 12 случаях.

в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром?

Предположим, что все 18 вариантов завтрака равновероятны.
1. Найдем вероятность события A: "хлеб будет ржаным".
Количество вариантов с ржаным хлебом: 1 (ржаной хлеб) $\times$ 2 (начинки) $\times$ 3 (напитка) = 6.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{всего исходов}} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
2. Найдем вероятность события B: "бутерброд будет с сыром".
Количество вариантов с сыром: 3 (вида хлеба) $\times$ 1 (сыр) $\times$ 3 (напитка) = 9.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{всего исходов}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
3. Сравним вероятности: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
Следовательно, событие "бутерброд будет с сыром" более вероятно.

Ответ: Более вероятно, что бутерброд будет с сыром.

г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на чёрный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

Введем новые ограничения:
1. Сыр не кладут на чёрный хлеб. Это означает, что из дерева вариантов исчезает ветка "Чёрный хлеб -> Сыр" и все три ее подветки (с чаем, молоком и кефиром). Количество вариантов уменьшается на 3.
2. Колбасу не запивают кефиром. Это означает, что для каждой ветки "Колбаса" (для белого, чёрного и ржаного хлеба) исчезает подветка "Кефир". Количество вариантов уменьшается еще на 3 (по одному для каждого вида хлеба).

Общее количество исключенных вариантов: $3 + 3 = 6$.
Новое общее количество вариантов: $18 - 6 = 12$.

Новое дерево вариантов будет выглядеть так:

• Белый хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
• Чёрный хлеб
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко
• Ржаной хлеб
  • Сыр
    • Чай
    • Молоко
    • Кефир
  • Колбаса
    • Чай
    • Молоко

Ответ: Из ветки "Чёрный хлеб" будет удалена подветка "Сыр" со всеми последующими выборами напитков. Из каждой ветки "Колбаса" будет удалена подветка "Кефир". Общее количество вариантов завтрака уменьшится с 18 до 12.

18.5 В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре чёрных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?

в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

Обозначим состояние урны парой чисел (Б, Ч), где Б — количество белых шаров, а Ч — количество чёрных шаров. Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего в урне $5+4=9$ шаров.
В каждой операции есть два возможных исхода в зависимости от цвета вынутых шаров:
- ОЦ (одного цвета): вынуты 2 белых или 2 чёрных шара. Они возвращаются в урну, и состояние урны не меняется.
- РЦ (разного цвета): вынут 1 белый и 1 чёрный шар. Они откладываются в сторону, и количество шаров каждого цвета в урне уменьшается на 1.

Дерево вариантов для двух операций выглядит следующим образом:

• Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего 9 шаров.
  • 1-я операция (ОЦ): шары возвращены. Состояние не меняется → (5Б, 4Ч), 9 шаров.
    • 2-я операция (ОЦ): шары возвращены. Конечное состояние: (5Б, 4Ч), 9 шаров.
    • 2-я операция (РЦ): шары отложены. Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
  • 1-я операция (РЦ): шары отложены. Состояние меняется → (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (ОЦ): шары возвращены. Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (РЦ): шары отложены. Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?

Исходя из дерева вариантов, построенного в пункте (а), видно, что количество шаров в урне останется равным девяти только в одном случае. Это произойдет, если обе операции подряд привели к извлечению шаров одного цвета (путь ОЦ → ОЦ).
Начальное состояние (9 шаров) → 1-я операция (ОЦ) → Промежуточное состояние (9 шаров) → 2-я операция (ОЦ) → Конечное состояние (9 шаров).
Это единственный сценарий, при котором количество шаров не уменьшается.

Ответ: В 1 случае.

в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

Условие "не более пяти шаров" означает, что итоговое количество шаров должно быть меньше или равно пяти ($ \le 5 $).
Рассмотрим конечные состояния в дереве вариантов: 9 шаров, 7 шаров, 7 шаров и 5 шаров.
Единственное состояние, удовлетворяющее условию, — это 5 шаров. Оно достигается только тогда, когда обе операции подряд приводят к извлечению шаров разного цвета (путь РЦ → РЦ).
Начальное состояние (9 шаров) → 1-я операция (РЦ) → Промежуточное состояние (7 шаров) → 2-я операция (РЦ) → Конечное состояние (5 шаров).
Это единственный такой сценарий.

Ответ: В 1 случае.

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

Мы продолжим дерево, построенное в пункте (а), добавив третий уровень операций для каждого из возможных состояний после второго шага.

• Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего 9 шаров.
  • 1-я операция (ОЦ) → (5Б, 4Ч)
    • 2-я операция (ОЦ) → (5Б, 4Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (5Б, 4Ч), 9 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (РЦ) → (4Б, 3Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
  • 1-я операция (РЦ) → (4Б, 3Ч)
    • 2-я операция (ОЦ) → (4Б, 3Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
    • 2-я операция (РЦ) → (3Б, 2Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (2Б, 1Ч), 3 шара.

Ответ: Дерево вариантов для трех операций представлено выше.

18.6 В коридоре три лампочки.

а) Сколько имеется различных способов освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят?

б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки № 1 и 2 горят или не горят одновременно?

в) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит?

г) Сколько имеется различных способов освещения коридора, когда горит большинство лампочек?

а) Каждая из трех лампочек может находиться в одном из двух состояний: включена (горит) или выключена (не горит). Состояние одной лампочки не зависит от состояния других.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число различных способов освещения равно произведению числа состояний для каждой лампочки. Таким образом, общее число комбинаций составляет $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

б) Условие, что лампочки № 1 и № 2 горят или не горят одновременно, связывает их состояния. Это означает, что для этой пары лампочек есть только два возможных состояния: обе выключены или обе включены. Фактически, их можно рассматривать как один элемент с двумя состояниями.

Состояние лампочки № 3 остается независимым и может быть любым из двух (включена или выключена). Применяя правило умножения, получаем общее количество способов: $2 \text{ (для пары 1 и 2)} \times 2 \text{ (для лампочки 3)} = 4$.

Ответ: 4

в) Для решения этой задачи разделим все возможные способы освещения на два случая в зависимости от состояния лампочки № 3.

Случай 1: Лампочка № 3 не горит. В этом случае условие «при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит» не накладывает никаких ограничений на лампочки № 1 и № 2. Каждая из них может находиться в одном из двух состояний, что дает $2 \times 2 = 4$ возможных способа.

Случай 2: Лампочка № 3 горит. Согласно условию, в этом случае лампочка № 2 обязательно не горит (1 состояние). Лампочка № 1 по-прежнему может быть как включена, так и выключена (2 состояния). Следовательно, в этом случае есть $2 \times 1 = 2$ способа.

Общее количество способов равно сумме способов в обоих случаях: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

г) Условие «горит большинство лампочек» для трех лампочек означает, что горит больше половины, то есть 2 или 3 лампочки. Рассмотрим эти два случая отдельно.

Случай 1: Горят ровно две лампочки. Нам нужно выбрать, какие именно две из трех лампочек будут гореть. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из 3 по 2: $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$ способа.

Случай 2: Горят все три лампочки. Такая комбинация только одна, что соответствует числу сочетаний из 3 по 3: $\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

Общее количество способов, при которых горит большинство лампочек, равно сумме способов из этих двух случаев: $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4

18.7 Несколько стран решили использовать для своего государственного флага прямоугольник, разделённый на четыре вертикальные полосы одинаковой ширины разных цветов: белого, синего, красного, зелёного. У каждой страны — свой флаг. Сколько всего стран:

а) могут использовать такие флаги;

б) могут использовать флаги с первой белой полосой;

в) могут использовать флаги с третьей не зелёной полосой;

г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд?

В данной задаче мы имеем дело с размещениями без повторений, так как флаг состоит из четырех полос разных цветов. Всего дано 4 цвета: белый, синий, красный, зелёный. Порядок цветов в полосах важен, поэтому для решения будем использовать формулы комбинаторики, в частности, перестановки.

а) могут использовать такие флаги;

Чтобы найти общее количество возможных флагов, нужно определить, сколькими способами можно расположить 4 разных цвета на 4 позициях. Это классическая задача на перестановки.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=4$, так как у нас 4 цвета и 4 полосы. Следовательно, общее количество уникальных флагов равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24

б) могут использовать флаги с первой белой полосой;

Если первая полоса имеет фиксированный белый цвет, то нам необходимо распределить оставшиеся 3 цвета (синий, красный, зелёный) по оставшимся 3 полосам (второй, третьей и четвертой).

Количество способов это сделать равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6

в) могут использовать флаги с третьей не зеленой полосой;

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Сначала найдём общее количество флагов (из пункта а) это 24), а затем вычтем из него количество "неправильных" флагов, то есть тех, у которых третья полоса зелёная.

Количество флагов с зелёной третьей полосой находится аналогично пункту б). Если третья полоса фиксирована (зелёная), то нам нужно расположить оставшиеся 3 цвета на 3 свободных местах. Количество таких способов равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Теперь, чтобы найти количество флагов, где третья полоса не зелёная, вычтем из общего числа флагов число флагов с зелёной третьей полосой:

$24 - 6 = 18$.

Ответ: 18

г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд?

Для решения этой задачи объединим синюю и красную полосы в один блок. Этот блок можно рассматривать как единый элемент. Внутри этого блока цвета могут располагаться двумя способами: "синий, красный" или "красный, синий" ($2! = 2$ варианта).

Теперь нам нужно расположить 3 элемента: наш блок (синий-красный), белую полосу и зелёную полосу. Количество способов расположить эти 3 элемента равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Так как для каждого из 6 расположений блока существуют 2 варианта порядка цветов внутри него, то общее количество флагов находится произведением этих двух величин:

Общее количество = (Число расположений блока) $\times$ (Число перестановок внутри блока) = $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$.

Ответ: 12