Страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения интервалов выпуклости функции используется знак ее второй производной. Функция является выпуклой вниз (convex), если на интервале ее вторая производная неотрицательна ($f''(x) \ge 0$). Функция является выпуклой вверх (concave), если ее вторая производная неположительна ($f''(x) \le 0$).

Найдем вторую производную для функции $y(x) = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Первая производная:

$y'(x) = (x^{2n+1})' = (2n+1)x^{2n}$

Вторая производная:

$y''(x) = ((2n+1)x^{2n})' = (2n+1)(2n)x^{2n-1} = 2n(2n+1)x^{2n-1}$

Теперь проанализируем знак второй производной $y''(x)$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то $n \ge 1$. Это означает, что множитель $2n(2n+1)$ всегда строго положителен. Следовательно, знак второй производной $y''(x)$ полностью определяется знаком выражения $x^{2n-1}$.

Показатель степени $2n-1$ также зависит от $n$. Так как $n \ge 1$, показатель $2n-1$ будет нечетным натуральным числом (например, при $n=1$ степень равна 1, при $n=2$ степень равна 3, и так далее).

Рассмотрим знаки $y''(x)$ в зависимости от знака $x$:

При $x > 0$, выражение $x^{2n-1}$ всегда будет положительным числом. Значит, $y''(x) > 0$. В этом случае функция выпукла вниз.

При $x < 0$, выражение $x^{2n-1}$ (как отрицательное число в нечетной степени) всегда будет отрицательным числом. Значит, $y''(x) < 0$. В этом случае функция выпукла вверх.

Сделав этот предварительный анализ, проверим каждое из предложенных утверждений.

а) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

Данное утверждение неверно. Наш анализ показал, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ функция выпукла вверх ($y'' < 0$). Утверждение (а) говорит об обратном.

Ответ: утверждение неверно.

б) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Данное утверждение неверно. Оно правильно описывает поведение функции при $x < 0$ (выпукла вверх), но ошибочно для $x > 0$, где функция выпукла вниз.

Ответ: утверждение неверно.

в) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Данное утверждение верно. Оно в точности соответствует результатам нашего анализа: при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ — выпукла вверх ($y'' < 0$).

Ответ: утверждение верно.

г) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$?

Данное утверждение неверно. Оно правильно описывает поведение функции при $x > 0$ (выпукла вниз), но ошибочно для $x < 0$, где функция выпукла вверх.

Ответ: утверждение неверно.

19.4 Результаты измерения роста (в см) девятиклассников представлены в таблице:

162 168 157 176 185 160 162 158 181 179

164 176 177 180 181 179 175 180 176 165

168 164 179 163 160 176 162 178 164 190

181 178 168 165 176 178 185 179 180 168

160 176 175 177 176 165 164 177 175 181

а) Каков общий ряд данных измерения роста девятиклассников?

б) Укажите наименьшую и наибольшую варианты проведённого измерения.

в) Какова кратность варианты 168, варианты 179?

г) Приведите пример числа из общего ряда данных, которое не является вариантой этого измерения.

а) Общий ряд данных (или выборка) — это все значения, полученные в результате измерения. Для анализа данных их обычно упорядочивают по возрастанию. Этот упорядоченный список называется вариационным рядом.

Сначала выпишем все данные из таблицы:

162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181.

Теперь упорядочим эти данные по возрастанию:

157, 158, 160, 160, 160, 162, 162, 162, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 168, 168, 168, 168, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 179, 179, 180, 180, 180, 181, 181, 181, 181, 185, 185, 190.

Ответ: 157, 158, 160, 160, 160, 162, 162, 162, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 168, 168, 168, 168, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 179, 179, 180, 180, 180, 181, 181, 181, 181, 185, 185, 190.

б) Варианта — это одно из значений в ряду данных. Наименьшая варианта — это минимальное значение в выборке, а наибольшая — максимальное.

Просмотрев упорядоченный ряд из пункта а), мы можем легко найти эти значения:

• Наименьшая варианта (минимальный рост): $157$ см.
• Наибольшая варианта (максимальный рост): $190$ см.

Ответ: наименьшая варианта — $157$, наибольшая варианта — $190$.

в) Кратность варианты — это количество раз, которое данное значение встречается в выборке. Чтобы найти кратность, нужно посчитать, сколько раз числа $168$ и $179$ появляются в таблице.

Посчитаем количество вхождений для варианты $168$:

162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179
164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165
168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190
181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168
160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181
Число $168$ встречается $4$ раза. Кратность варианты $168$ равна $4$.

Посчитаем количество вхождений для варианты $179$:

162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179
164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165
168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190
181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168
160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181
Число $179$ встречается $4$ раза. Кратность варианты $179$ равна $4$.

Ответ: кратность варианты $168$ равна $4$, кратность варианты $179$ равна $4$.

г) Общий ряд данных находится в диапазоне от $157$ до $190$. Вариантой измерения является любое число из этого диапазона, которое присутствует в исходном наборе данных. Нам нужно найти число, которое находится в этом диапазоне, но отсутствует в списке измерений.

Варианты, которые есть в измерении: 157, 158, 160, 162, 163, 164, 165, 168, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 185, 190.

Примерами чисел, которые находятся в диапазоне от $157$ до $190$, но не являются вариантами данного измерения, могут быть $159$, $161$, $166$, $167$, $169$, $170$, $171$, $172$, $173$, $174$ и другие. Возьмем для примера число $170$.

Ответ: $170$.

19.5 Ценники в продуктовом магазине распределили по ценовым категориям. Получилось такое распределение (граничную цену относят к более высокой категории):

Цена, р. 0—20 20—50 50—100 100—150 150—200 $\ge 200$

Кол-во ценников 31 52 47 38 19 13

а) Найдите объём измерения, т. е. количество распределённых ценников.

б) Какова частота варианты «от 100 до 150 р.»?

в) Какова процентная частота варианты «больше или равно 200 р.»?

г) Дополните таблицу строкой частот вариант и строкой их процентных частот.

а) Чтобы найти объём измерения, то есть общее количество распределённых ценников, нужно сложить количество ценников в каждой ценовой категории. Обозначим общее количество ценников как $N$.

$N = 31 + 52 + 47 + 38 + 19 + 13 = 200$

Объём измерения равен 200.

Ответ: 200 ценников.

б) Частота варианты — это отношение количества наблюдений данной варианты к общему объёму измерения. Для варианта «от 100 до 150 р.» количество ценников равно 38. Общий объём измерения, найденный в пункте а), равен 200.

Частота = $\frac{\text{Количество ценников в категории}}{\text{Общее количество ценников}} = \frac{38}{200} = \frac{19}{100} = 0,19$

Ответ: 0,19.

в) Процентная частота варианты — это её частота, выраженная в процентах. Для варианта «больше или равно 200 р.» количество ценников равно 13. Общий объём измерения равен 200.

Сначала найдём частоту:

Частота = $\frac{13}{200}$

Теперь найдём процентную частоту, умножив частоту на 100%:

Процентная частота = $\frac{13}{200} \cdot 100\% = \frac{13}{2}\% = 6,5\%$

Ответ: 6,5%.

г) Чтобы дополнить таблицу, нужно рассчитать частоту и процентную частоту для каждой ценовой категории. Общий объём измерения $N = 200$. Частота рассчитывается как отношение количества ценников в категории к общему количеству, а процентная частота — это частота, умноженная на 100%.

Расчёты для каждой категории:

Категория 0–20: Частота = $\frac{31}{200} = 0,155$; Процентная частота = $0,155 \cdot 100\% = 15,5\%$.

Категория 20–50: Частота = $\frac{52}{200} = 0,26$; Процентная частота = $0,26 \cdot 100\% = 26\%$.

Категория 50–100: Частота = $\frac{47}{200} = 0,235$; Процентная частота = $0,235 \cdot 100\% = 23,5\%$.

Категория 100–150: Частота = $\frac{38}{200} = 0,19$; Процентная частота = $0,19 \cdot 100\% = 19\%$.

Категория 150–200: Частота = $\frac{19}{200} = 0,095$; Процентная частота = $0,095 \cdot 100\% = 9,5\%$.

Категория $\ge 200$: Частота = $\frac{13}{200} = 0,065$; Процентная частота = $0,065 \cdot 100\% = 6,5\%$.

Дополненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Дополненная таблица представлена выше.

19.6 В специализированном спортивном магазине продаётся 50 видов велосипедов. Они распределены по цене (граничную цену относят к более высокой категории):

Цена, тыс. р.: До 3, 3–6, 6–9, 9–12, 12–15, $ \ge 15 $

Кол-во видов: 3, 8, 19, ?, 11, 2

a) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.?

б) Какова частота очень дорогих ($ \ge 15 $ тыс. р.) велосипедов?

в) Какова процентная частота относительно дешёвых ($ < 6 $ тыс. р.) велосипедов?

г) Какова процентная частота моды проведённого измерения?

а) В условии сказано, что всего в магазине продаётся 50 видов велосипедов. В таблице указано количество видов для каждой ценовой категории, кроме одной. Чтобы найти неизвестное количество видов велосипедов в категории «9–12 тыс. р.», нужно из общего количества вычесть сумму известных количеств по другим категориям.

Сумма известных видов: $3 + 8 + 19 + 11 + 2 = 43$.

Количество видов в категории «9–12 тыс. р.»: $50 - 43 = 7$.

Ответ: 7 видов.

б) Частота (относительная частота) события — это отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов. В данном случае, «очень дорогие» велосипеды — это те, что стоят ≥ 15 тыс. р. Их количество равно 2. Общее количество видов велосипедов — 50.

Частота очень дорогих велосипедов: $ \frac{2}{50} = \frac{1}{25} = 0,04 $.

Ответ: 0,04.

в) К «относительно дешёвым» велосипедам относятся те, что стоят менее 6 тыс. р. Это две категории: «До 3 тыс. р.» (3 вида) и «3–6 тыс. р.» (8 видов). Важно учесть, что по условию граничная цена (6 тыс. р.) относится к более высокой категории, поэтому в категорию «< 6 тыс. р.» она не входит.

Общее количество относительно дешёвых велосипедов: $3 + 8 = 11$ видов.

Процентная частота находится как отношение количества в данной группе к общему количеству, умноженное на 100%.

Процентная частота: $ \frac{11}{50} \cdot 100\% = 0,22 \cdot 100\% = 22\% $.

Ответ: 22%.

г) Мода измерения в статистическом ряду — это значение, которое встречается наиболее часто. В данном случае модальным является тот ценовой интервал, которому соответствует наибольшее количество видов велосипедов.

Сравним количество видов в каждой категории: 3, 8, 19, 7, 11, 2. Наибольшее значение — 19. Это и есть частота моды. Модальный интервал — «6–9 тыс. р.».

Найдём процентную частоту моды, то есть какой процент от общего числа видов составляют велосипеды из модальной категории.

Процентная частота моды: $ \frac{19}{50} \cdot 100\% = 0,38 \cdot 100\% = 38\% $.

Ответ: 38%.