Страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.10 Результатом измерения является последняя цифра натуральной степени двойки (числа $2^n$).

а) Выпишите все возможные результаты этого измерения.

б) Выпишите ряд данных этого измерения для $n = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11$.

в) Выпишите ряд данных этого измерения для $n = 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21$.

г) Какова кратность варианты 8 среди всех результатов, полученных в заданиях б) и в)?

а) Чтобы найти все возможные результаты измерения, то есть все возможные последние цифры числа $2^n$, где $n$ — натуральное число, рассмотрим несколько первых степеней двойки: $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$; $2^5 = 32$; $2^6 = 64$. Последние цифры этих чисел — 2, 4, 8, 6, 2, 4. Видно, что последние цифры степеней двойки циклически повторяются с периодом 4 в последовательности (2, 4, 8, 6). Следовательно, других последних цифр у степеней двойки быть не может.

Ответ: 2, 4, 6, 8.

б) Для нахождения ряда данных для $n = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11$, определим последнюю цифру числа $2^n$ для каждого значения $n$. Последняя цифра зависит от остатка от деления $n$ на 4: остатку 1 соответствует цифра 2, остатку 2 — 4, остатку 3 — 8, а если число делится на 4 (остаток 0), то последняя цифра — 6.

При $n=2$ (остаток 2) — последняя цифра 4.
При $n=3$ (остаток 3) — последняя цифра 8.
При $n=5$ ($5 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=7$ ($7 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.
При $n=8$ ($8 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=10$ ($10 \div 4$ с остатком 2) — последняя цифра 4.
При $n=11$ ($11 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.

Таким образом, ряд данных выглядит следующим образом.

Ответ: 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8.

в) Аналогично найдем ряд данных для $n = 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21$, определяя последнюю цифру $2^n$ по остатку от деления $n$ на 4.

При $n=12$ ($12 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=13$ ($13 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=15$ ($15 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.
При $n=17$ ($17 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=18$ ($18 \div 4$ с остатком 2) — последняя цифра 4.
При $n=20$ ($20 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=21$ ($21 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.

Таким образом, ряд данных выглядит следующим образом.

Ответ: 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

г) Чтобы найти кратность (частоту) варианты 8, объединим результаты, полученные в заданиях б) и в), и посчитаем, сколько раз в этом объединенном ряду встречается число 8.

Ряд из задания б): 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8.

Ряд из задания в): 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

Объединенный ряд данных: 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8, 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

В ряду из задания б) варианта 8 встречается 3 раза. В ряду из задания в) варианта 8 встречается 1 раз. Общее количество раз, когда встречается варианта 8, равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4.

19.11 30 абитуриентов сдали четыре вступительных экзамена и набрали в сумме такое количество баллов (оценки на экзаменах — «3», «4» или «5»): 20; 19; 12; 13; 16; 17; 17; 14; 16; 20; 14; 19; 20; 20; 16; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.

а) Составьте общий ряд данных.

б) Какое число из общего ряда не встречается среди данных этого измерения?

в) Какова кратность варианты 14?

г) Выпишите сгруппированный ряд этого измерения из пункта б).

а) Общий (или ранжированный) ряд данных представляет собой последовательность всех полученных значений, упорядоченных по возрастанию. Для этого сначала подсчитаем частоту каждого балла, а затем выпишем ряд.

Подсчет частот:

• 12: 3 раза
• 13: 2 раза
• 14: 4 раза
• 16: 4 раза
• 17: 7 раз
• 18: 2 раза
• 19: 3 раза
• 20: 5 раз

Суммарное количество: $3+2+4+4+7+2+3+5=30$ абитуриентов, что соответствует условию.

Ранжированный ряд данных:

12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20.

Ответ: 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20.

б) Общий ряд в данном контексте — это множество всех теоретически возможных суммарных баллов за четыре экзамена. Оценки на каждом экзамене могут быть «3», «4» или «5».

Минимально возможный суммарный балл: $3+3+3+3 = 12$.

Максимально возможный суммарный балл: $5+5+5+5 = 20$.

Все целые числа в промежутке от 12 до 20 могут быть получены как сумма четырех оценок из набора {3, 4, 5}. Например, $15 = 3+3+4+5$. Таким образом, множество всех возможных баллов (общий ряд) — это {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Сравнивая этот набор с фактически полученными баллами (вариантами), мы видим, что в предоставленных данных отсутствуют абитуриенты, набравшие 15 баллов.

Ответ: 15.

в) Кратность варианты — это количество раз, которое данное значение встречается в ряду данных. Посчитаем, сколько раз в исходном списке встречается число 14:

20; 19; 12; 13; 16; 17; 17; 14; 16; 20; 14; 19; 20; 20; 16; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.

Число 14 встречается 4 раза.

Ответ: 4.

г) Сгруппированный ряд данных представляет собой таблицу, в которой для каждой варианты (уникального значения из общего ряда) указывается её кратность (частота). Учитывая результат из пункта б), мы включаем в ряд все возможные значения от 12 до 20, в том числе и варианту 15 с нулевой кратностью.

Ответ: Сгруппированный ряд в виде таблицы частот:

19.12 В сентябре — ноябре Петя получил по русскому языку такие отметки: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Он хотел, чтобы его средняя отметка за первое полугодие стала не меньше 4,5 и планировал для этого получать в декабре одни пятёрки.

а) Какое наименьшее количество пятёрок надо было бы для этого получить?

б) Какова его реальная средняя декабрьская отметка, если на самом деле в декабре он получил отметки 4, 5, 5, 4?

в) Найдите среднее его реальных отметок за первое полугодие.

г) Найдите дисперсию его отметок за первое полугодие.

а) Сначала найдем сумму и количество отметок, полученных Петей с сентября по ноябрь. Отметки: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Их количество $n_1 = 6$. Сумма отметок $S_1 = 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 4 = 25$. Пусть $x$ — наименьшее количество пятёрок, которое Пете нужно получить в декабре, чтобы средняя отметка за полугодие стала не меньше 4,5. Тогда общее количество отметок за полугодие станет $n = 6 + x$, а их сумма $S = 25 + 5x$. Составим и решим неравенство для средней отметки: $\frac{S}{n} \ge 4,5$ $\frac{25 + 5x}{6 + x} \ge 4,5$ Поскольку количество отметок $6 + x$ всегда положительно, мы можем умножить обе части неравенства на это выражение: $25 + 5x \ge 4,5 \cdot (6 + x)$ $25 + 5x \ge 27 + 4,5x$ $5x - 4,5x \ge 27 - 25$ $0,5x \ge 2$ $x \ge 4$ Поскольку $x$ должно быть целым числом, наименьшее количество пятёрок, которое ему нужно было получить, равно 4.
Ответ: 4.

б) Реальные отметки Пети за декабрь: 4, 5, 5, 4. Чтобы найти его реальную среднюю декабрьскую отметку, нужно сложить эти отметки и разделить на их количество. Сумма отметок за декабрь: $4 + 5 + 5 + 4 = 18$. Количество отметок за декабрь: 4. Средняя декабрьская отметка: $\frac{18}{4} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

в) Чтобы найти среднее его реальных отметок за первое полугодие, нужно сложить все отметки, полученные с сентября по декабрь, и разделить на их общее количество. Отметки за сентябрь–ноябрь: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Отметки за декабрь: 4, 5, 5, 4. Общий набор отметок: 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 4. Общая сумма всех отметок: $(4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 4) + (4 + 5 + 5 + 4) = 25 + 18 = 43$. Общее количество отметок: $6 + 4 = 10$. Средняя отметка за первое полугодие: $\frac{43}{10} = 4,3$.
Ответ: 4,3.

г) Дисперсия — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии $D$: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $x_i$ — это каждое значение в наборе данных, $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество значений. Из пункта в) мы знаем, что все отметки за полугодие: 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 4. Среднее значение $\bar{x} = 4,3$. Количество отметок $n = 10$. Набор отметок состоит из: одной '3', пяти '4' и четырёх '5'. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего: $\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 = (3 - 4,3)^2 + 5 \cdot (4 - 4,3)^2 + 4 \cdot (5 - 4,3)^2$ $= (-1,3)^2 + 5 \cdot (-0,3)^2 + 4 \cdot (0,7)^2$ $= 1,69 + 5 \cdot 0,09 + 4 \cdot 0,49$ $= 1,69 + 0,45 + 1,96 = 4,1$ Теперь вычислим дисперсию: $D = \frac{4,1}{10} = 0,41$.
Ответ: 0,41.

19.13 В сводной таблице распределения данных некоторого измерения оказались пустые места. Заполните их.

Для заполнения пустых ячеек в таблице необходимо понимать связь между кратностью, частотой и процентной частотой. Эти величины связаны следующими соотношениями:

1. Частота (относительная частота) $W_i$ для каждой варианты $i$ вычисляется как отношение её кратности $n_i$ к общему объему выборки $N$ (сумме всех кратностей):

$W_i = \frac{n_i}{N}$

2. Частота в процентах получается умножением обычной частоты на 100:

Частота, % = $W_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Сумма всех частот должна быть равна 1, а сумма всех процентных частот — 100.

Решение задачи разобьем на несколько шагов.

1. Нахождение общего объема выборки N

Для нахождения общего объема выборки $N$ воспользуемся данными для Варианты № 1, где известны и кратность ($n_1 = 291$), и частота в процентах (29,1 %).

Подставим эти значения в формулу:

$29,1 = \frac{291}{N} \times 100$

Выразим $N$ из этого уравнения:

$N = \frac{291 \times 100}{29,1} = \frac{29100}{29,1} = 1000$

Ответ: Общий объем выборки $N = 1000$.

2. Расчеты для каждой варианты

Теперь, зная $N=1000$, мы можем найти все недостающие значения в таблице.

Варианта № 1

Дано: $n_1 = 291$, Частота, % = 29,1. Необходимо найти Частоту $W_1$.

$W_1 = \frac{n_1}{N} = \frac{291}{1000} = 0,291$

Ответ: Частота для Варианты № 1 равна 0,291.

Варианта № 2

Дано: $W_2 = 0,122$. Необходимо найти кратность $n_2$ и Частоту, %.

$n_2 = W_2 \times N = 0,122 \times 1000 = 122$

Частота, % = $W_2 \times 100 = 0,122 \times 100 = 12,2$

Ответ: Кратность для Варианты № 2 равна 122, Частота, % — 12,2.

Варианта № 3

Дано: $n_3 = 113$. Необходимо найти частоту $W_3$ и Частоту, %.

$W_3 = \frac{n_3}{N} = \frac{113}{1000} = 0,113$

Частота, % = $W_3 \times 100 = 0,113 \times 100 = 11,3$

Ответ: Частота для Варианты № 3 равна 0,113, Частота, % — 11,3.

Варианта № 4

Дано: Частота, % = 20,2. Необходимо найти кратность $n_4$ и частоту $W_4$.

$W_4 = \frac{20,2}{100} = 0,202$

$n_4 = W_4 \times N = 0,202 \times 1000 = 202$

Ответ: Кратность для Варианты № 4 равна 202, Частота — 0,202.

Варианта № 5

Дано: Частота, % = 7,9. Необходимо найти кратность $n_5$ и частоту $W_5$.

$W_5 = \frac{7,9}{100} = 0,079$

$n_5 = W_5 \times N = 0,079 \times 1000 = 79$

Ответ: Кратность для Варианты № 5 равна 79, Частота — 0,079.

Варианта № 6

Дано: $W_6 = 0,193$. Необходимо найти кратность $n_6$ и Частоту, %.

$n_6 = W_6 \times N = 0,193 \times 1000 = 193$

Частота, % = $W_6 \times 100 = 0,193 \times 100 = 19,3$

Ответ: Кратность для Варианты № 6 равна 193, Частота, % — 19,3.

3. Заполнение столбца "Сумма"

Просуммируем значения в каждой строке для проверки и заполнения итогового столбца.

Сумма кратностей: $291 + 122 + 113 + 202 + 79 + 193 = 1000$ (совпадает с $N$)

Сумма частот: $0,291 + 0,122 + 0,113 + 0,202 + 0,079 + 0,193 = 1,000$

Сумма частот, %: $29,1 + 12,2 + 11,3 + 20,2 + 7,9 + 19,3 = 100,0$

Ответ: Сумма кратностей = 1000, Сумма частот = 1, Сумма частот, % = 100.

Итоговая заполненная таблица: