Номер 19.10, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.10 Результатом измерения является последняя цифра натуральной степени двойки (числа $2^n$).

а) Выпишите все возможные результаты этого измерения.

б) Выпишите ряд данных этого измерения для $n = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11$.

в) Выпишите ряд данных этого измерения для $n = 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21$.

г) Какова кратность варианты 8 среди всех результатов, полученных в заданиях б) и в)?

а) Чтобы найти все возможные результаты измерения, то есть все возможные последние цифры числа $2^n$, где $n$ — натуральное число, рассмотрим несколько первых степеней двойки: $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$; $2^5 = 32$; $2^6 = 64$. Последние цифры этих чисел — 2, 4, 8, 6, 2, 4. Видно, что последние цифры степеней двойки циклически повторяются с периодом 4 в последовательности (2, 4, 8, 6). Следовательно, других последних цифр у степеней двойки быть не может.

Ответ: 2, 4, 6, 8.

б) Для нахождения ряда данных для $n = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11$, определим последнюю цифру числа $2^n$ для каждого значения $n$. Последняя цифра зависит от остатка от деления $n$ на 4: остатку 1 соответствует цифра 2, остатку 2 — 4, остатку 3 — 8, а если число делится на 4 (остаток 0), то последняя цифра — 6.

При $n=2$ (остаток 2) — последняя цифра 4.
При $n=3$ (остаток 3) — последняя цифра 8.
При $n=5$ ($5 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=7$ ($7 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.
При $n=8$ ($8 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=10$ ($10 \div 4$ с остатком 2) — последняя цифра 4.
При $n=11$ ($11 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.

Таким образом, ряд данных выглядит следующим образом.

Ответ: 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8.

в) Аналогично найдем ряд данных для $n = 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21$, определяя последнюю цифру $2^n$ по остатку от деления $n$ на 4.

При $n=12$ ($12 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=13$ ($13 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=15$ ($15 \div 4$ с остатком 3) — последняя цифра 8.
При $n=17$ ($17 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.
При $n=18$ ($18 \div 4$ с остатком 2) — последняя цифра 4.
При $n=20$ ($20 \div 4$ с остатком 0) — последняя цифра 6.
При $n=21$ ($21 \div 4$ с остатком 1) — последняя цифра 2.

Таким образом, ряд данных выглядит следующим образом.

Ответ: 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

г) Чтобы найти кратность (частоту) варианты 8, объединим результаты, полученные в заданиях б) и в), и посчитаем, сколько раз в этом объединенном ряду встречается число 8.

Ряд из задания б): 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8.

Ряд из задания в): 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

Объединенный ряд данных: 4, 8, 2, 8, 6, 4, 8, 6, 2, 8, 2, 4, 6, 2.

В ряду из задания б) варианта 8 встречается 3 раза. В ряду из задания в) варианта 8 встречается 1 раз. Общее количество раз, когда встречается варианта 8, равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4.