Номер 19.17, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.17 После урока по теме «Статистика» на доске остались таблица

и ответ: «$Среднее значение = 10$».

а) Заполните пустое место в таблице.

б) Укажите размах и моду распределения.

в) Может ли в ответе для среднего значения стоять число 15, если все варианты — целые числа?

г) Заполните пустое место в таблице, если в ответе для среднего значения стоит число $x$.

а) Заполните пустое место в таблице.

Среднее значение (или среднее арифметическое взвешенное) для набора данных вычисляется по формуле:
$Среднее = \frac{\sum_{i=1}^{n} v_i \cdot k_i}{\sum_{i=1}^{n} k_i}$
где $v_i$ — это варианты, а $k_i$ — их кратности (частоты).

В нашей задаче даны варианты $v_1 = 4$ и $v_2 = 7$ с кратностями $k_1 = 5$ и $k_2 = 2$. Третья варианта, обозначим ее $v_3$, неизвестна, но ее кратность $k_3 = 3$.
Среднее значение дано и равно 10.

Сначала найдем сумму всех кратностей (общий объем выборки):
$\sum k_i = k_1 + k_2 + k_3 = 5 + 2 + 3 = 10$

Теперь подставим все известные значения в формулу для среднего значения: $10 = \frac{v_1 \cdot k_1 + v_2 \cdot k_2 + v_3 \cdot k_3}{10}$
$10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{10}$
$10 = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$10 = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Решим это уравнение относительно $v_3$:
$10 \cdot 10 = 34 + 3v_3$
$100 = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 100 - 34$
$3v_3 = 66$
$v_3 = \frac{66}{3} = 22$

Таким образом, недостающая варианта равна 22. Ответ: 22.

б) Укажите размах и моду распределения.

Используя результат из пункта а), мы имеем полный набор вариант: 4, 7, 22. Их кратности соответственно равны: 5, 2, 3.

Размах распределения — это разность между наибольшей и наименьшей вариантами.
Наибольшая варианта: $max(4, 7, 22) = 22$
Наименьшая варианта: $min(4, 7, 22) = 4$
Размах = $22 - 4 = 18$

Мода распределения — это варианта с наибольшей кратностью.
Кратность варианты 4 равна 5.
Кратность варианты 7 равна 2.
Кратность варианты 22 равна 3.
Наибольшая кратность — 5, она соответствует варианте 4. Следовательно, мода равна 4.

Ответ: Размах равен 18, мода равна 4.

в) Может ли в ответе для среднего значения стоять число 15, если все варианты — целые числа?

Предположим, что среднее значение равно 15. Используем ту же формулу, что и в пункте а), чтобы найти неизвестную варианту $v_3$.
$15 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{5 + 2 + 3}$
$15 = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$15 = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Решим уравнение относительно $v_3$:
$15 \cdot 10 = 34 + 3v_3$
$150 = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 150 - 34$
$3v_3 = 116$
$v_3 = \frac{116}{3}$

Число 116 не делится нацело на 3 (так как сумма его цифр $1+1+6=8$ не делится на 3). Результат деления $v_3 = 38\frac{2}{3}$ не является целым числом. Поскольку по условию все варианты должны быть целыми числами, а для получения среднего значения 15 третья варианта должна быть дробным числом, то такая ситуация невозможна.

Ответ: Нет, не может.

г) Заполните пустое место в таблице, если в ответе для среднего значения стоит число x.

Это обобщение пункта а). Пусть среднее значение равно $x$, а неизвестная варианта — $v_3$.
Используем формулу среднего значения: $x = \frac{\sum v_i \cdot k_i}{\sum k_i}$

Подставим известные значения: $x = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + v_3 \cdot 3}{5 + 2 + 3}$
$x = \frac{20 + 14 + 3v_3}{10}$
$x = \frac{34 + 3v_3}{10}$

Теперь выразим $v_3$ через $x$: $10x = 34 + 3v_3$
$3v_3 = 10x - 34$
$v_3 = \frac{10x - 34}{3}$

Значение в пустом месте таблицы (неизвестная варианта) равно выражению $\frac{10x - 34}{3}$. Ответ: $\frac{10x - 34}{3}$.