Номер 19.18, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.18 После урока по теме «Статистика» на доске остались таблица

и ответ: «Среднее значение $ = 10$».

а) Заполните пустое место в таблице.

б) Укажите размах и моду распределения.

в) Можно ли пустое место в таблице заполнить так, чтобы среднее значение стало равно $5$?

г) Какое ближайшее к 5 число может стоять в ответе для среднего значения?

а) Заполните пустое место в таблице.

В данной задаче представлены варианты (значения) $x_i$ и их кратности (частоты) $n_i$. Из таблицы и условия нам известны:
Варианта $x_1 = 4$ с кратностью $n_1 = 5$.
Варианта $x_2 = 7$ с кратностью $n_2 = 2$.
Варианта $x_3 = 11$ с неизвестной кратностью $n_3$.
Среднее значение $\bar{x} = 10$.

Среднее значение для такого распределения вычисляется по формуле среднего взвешенного: $\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $n_3$: $10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$

Теперь решим полученное уравнение: $10 = \frac{20 + 14 + 11n_3}{7 + n_3}$
$10(7 + n_3) = 34 + 11n_3$
$70 + 10n_3 = 34 + 11n_3$
$11n_3 - 10n_3 = 70 - 34$
$n_3 = 36$

Следовательно, в пустой ячейке таблицы должно стоять число 36.

Ответ: 36

б) Укажите размах и моду распределения.

После заполнения таблицы мы имеем следующее распределение:
Варианты: 4, 7, 11.
Кратности: 5, 2, 36.

Размах распределения — это разность между максимальной и минимальной вариантой.
Размах = $11 - 4 = 7$.

Мода распределения — это варианта, имеющая наибольшую кратность. В данном случае наибольшая кратность равна 36, и она соответствует варианте 11.
Мода = 11.

Ответ: размах равен 7, мода равна 11.

в) Можно ли пустое место в таблице заполнить так, чтобы среднее значение стало равно 5?

Для ответа на этот вопрос подставим в формулу среднего значения $\bar{x} = 5$ и найдем соответствующее значение кратности $n_3$.
$5 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$5 = \frac{20 + 14 + 11n_3}{7 + n_3}$
$5(7 + n_3) = 34 + 11n_3$
$35 + 5n_3 = 34 + 11n_3$
$6n_3 = 1$
$n_3 = \frac{1}{6}$

Кратность по определению — это количество раз, которое встречается варианта, поэтому она должна быть целым неотрицательным числом. Так как мы получили дробное значение $n_3 = \frac{1}{6}$, заполнить таблицу таким образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

г) Какое ближайшее к 5 число может стоять в ответе для среднего значения?

Как мы выяснили в пункте в), среднее значение равно 5 при $n_3 = \frac{1}{6}$. Так как $n_3$ должно быть целым неотрицательным числом ($n_3 \in \{0, 1, 2, ...\}$), нам нужно найти, при каком целом $n_3$ среднее значение будет наиболее близко к 5. Ближайшие целые числа к $\frac{1}{6}$ — это 0 и 1.

Рассчитаем среднее значение для каждого из этих случаев. Формула среднего значения в зависимости от $n_3$: $\bar{x}(n_3) = \frac{34 + 11n_3}{7 + n_3}$.
1. При $n_3 = 0$: $\bar{x} = \frac{34 + 11 \cdot 0}{7 + 0} = \frac{34}{7}$.
2. При $n_3 = 1$: $\bar{x} = \frac{34 + 11 \cdot 1}{7 + 1} = \frac{45}{8}$.

Теперь определим, какое из этих значений ближе к 5. Для этого найдем расстояние от каждого значения до 5:
$|\frac{34}{7} - 5| = |\frac{34 - 35}{7}| = |-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$.
$|\frac{45}{8} - 5| = |\frac{45 - 40}{8}| = |\frac{5}{8}| = \frac{5}{8}$.

Сравним полученные расстояния $\frac{1}{7}$ и $\frac{5}{8}$. Приведя их к общему знаменателю 56, получаем $\frac{8}{56}$ и $\frac{35}{56}$.
Поскольку $\frac{8}{56} < \frac{35}{56}$, то $\frac{1}{7} < \frac{5}{8}$.
Следовательно, значение $\frac{34}{7}$ находится ближе к 5.

Ответ: $\frac{34}{7}$