Номер 20.5, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.5 Случайным образом выбирают двузначное число. Найдите вероятность того, что:

а) его цифры различаются больше чем на 8;

б) его цифры различаются больше чем на 7;

в) при перестановке цифр местами получится двузначное число, меньшее исходного;

г) оно ближе к 27, чем к 72.

Вероятность случайного события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче мы выбираем случайное двузначное число. Двузначными являются целые числа от 10 до 99. Общее количество таких чисел $n$ составляет $99 - 10 + 1 = 90$. Это и будет общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) его цифры различаются больше чем на 8;

Пусть двузначное число представлено как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Условие "его цифры различаются больше чем на 8" можно записать в виде неравенства $|a - b| > 8$.

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, максимальная возможная разность между ними составляет $9 - 0 = 9$. Следовательно, единственное целое число, которое больше 8 и может быть разностью цифр, — это 9. Таким образом, условие сводится к уравнению $|a - b| = 9$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $a - b = 9$. Учитывая, что $a \le 9$ и $b \ge 0$, единственным решением является $a=9, b=0$. Это соответствует числу 90.
2. $b - a = 9$. Единственным решением в целых неотрицательных числах является $b=9, a=0$. Однако, для двузначного числа цифра десятков $a$ не может быть равна нулю.

Таким образом, только одно число, 90, удовлетворяет этому условию. Число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{90}$.

Ответ: $\frac{1}{90}$

б) его цифры различаются больше чем на 7;

Условие "его цифры различаются больше чем на 7" означает, что $|a - b| > 7$. Это значит, что абсолютная разность между цифрами может быть равна 8 или 9.

Случай $|a - b| = 9$ был рассмотрен в предыдущем пункте. Ему удовлетворяет только одно число — 90.

Теперь рассмотрим случай $|a - b| = 8$:

• $a - b = 8$. Возможные пары цифр $(a, b)$: $(9, 1)$ и $(8, 0)$. Они соответствуют числам 91 и 80.
• $b - a = 8$. Возможная пара цифр $(a, b)$: $(1, 9)$. Она соответствует числу 19. (Пара $(0, 8)$ не подходит, так как $a \neq 0$).

Числа, у которых разность цифр равна 8: 91, 80 и 19. Всего 3 числа.

Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов для разностей 8 и 9. Всего $1 + 3 = 4$ числа (90, 91, 80, 19). Таким образом, $m = 4$.

Вероятность этого события: $P = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$.

Ответ: $\frac{2}{45}$

в) при перестановке цифр местами получится двузначное число, меньшее исходного;

Пусть исходное число — это $N_1 = 10a + b$. После перестановки цифр получается число $N_2 = 10b + a$.

Условие задачи накладывает два ограничения:

1. Получившееся число $N_2$ должно быть двузначным. Это значит, что его первая цифра $b$ не может быть нулем, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.
2. Новое число должно быть меньше исходного: $N_2 < N_1$. Запишем это в виде неравенства: $10b + a < 10a + b$. Упростив его, получаем $9b < 9a$, или $b < a$.

Итак, нам нужно найти количество двузначных чисел $10a+b$, для которых одновременно выполняются условия $a > b$ и $b \neq 0$. Перечислим все такие числа, сгруппировав их по значению первой цифры $a$:

• При $a=2$: $b=1$ (число 21) — 1 число.
• При $a=3$: $b \in \{1, 2\}$ (числа 31, 32) — 2 числа.
• При $a=4$: $b \in \{1, 2, 3\}$ — 3 числа.
• При $a=5$: $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ — 4 числа.
• При $a=6$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ — 5 чисел.
• При $a=7$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — 6 чисел.
• При $a=8$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ — 7 чисел.
• При $a=9$: $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ — 8 чисел.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме: $m = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Вероятность этого события: $P = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

г) оно ближе к 27, чем к 72.

Пусть выбранное число — $x$. Условие "оно ближе к 27, чем к 72" означает, что расстояние от $x$ до 27 меньше, чем расстояние от $x$ до 72. Математически это выражается неравенством: $|x - 27| < |x - 72|$.

Это неравенство справедливо для всех чисел $x$, которые находятся на числовой оси левее точки, равноудаленной от 27 и 72. Эта точка является их средним арифметическим:

$M = \frac{27 + 72}{2} = \frac{99}{2} = 49.5$

Таким образом, условие задачи равносильно неравенству $x < 49.5$. Поскольку $x$ — двузначное целое число, оно должно принадлежать диапазону от 10 до 49 включительно.

Найдем количество целых чисел в этом диапазоне (число благоприятных исходов $m$):

$m = 49 - 10 + 1 = 40$.

Вероятность этого события: $P = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$