Номер 19.20, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.20 Семь экспертов независимо оценивают качество товара. Наименьший и наибольший результаты отбрасывают и вычисляют дисперсию оставшихся оценок. Если дисперсия окажется меньше 0,09, то оценки товара считаются согласованными. Для следующих случаев оценок семи экспертов найдите дисперсию и определите, являются ли они согласованными или нет.

а) 12,3; 12,7; 12,5; 12,0; 12,6; 12,9; 12,4.

б) 10,6; 9,7; 10,3; 9,5; 10,5; 10,4; 9,6.

Для решения задачи необходимо для каждого набора оценок выполнить следующие действия:

1. Упорядочить оценки по возрастанию.
2. Отбросить наименьшую и наибольшую оценки.
3. Для оставшихся 5 оценок вычислить их среднее арифметическое (математическое ожидание) $\bar{x}$.
4. Вычислить дисперсию $D$ по формуле: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $n=5$ — количество оставшихся оценок.
5. Сравнить полученную дисперсию со значением 0,09 и сделать вывод о согласованности оценок.

а)

Исходный набор оценок: 12,3; 12,7; 12,5; 12,0; 12,6; 12,9; 12,4.

1. Упорядочим оценки по возрастанию: 12,0; 12,3; 12,4; 12,5; 12,6; 12,7; 12,9.

2. Отбрасываем наименьшую (12,0) и наибольшую (12,9) оценки. Остаются следующие 5 оценок: 12,3; 12,4; 12,5; 12,6; 12,7.

3. Найдем среднее арифметическое оставшихся оценок:

$\bar{x} = \frac{12,3 + 12,4 + 12,5 + 12,6 + 12,7}{5} = \frac{62,5}{5} = 12,5$.

4. Вычислим дисперсию:

$D = \frac{(12,3-12,5)^2 + (12,4-12,5)^2 + (12,5-12,5)^2 + (12,6-12,5)^2 + (12,7-12,5)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,2)^2 + (-0,1)^2 + 0^2 + (0,1)^2 + (0,2)^2}{5} = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{5} = \frac{0,10}{5} = 0,02$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением. Так как $0,02 < 0,09$, оценки считаются согласованными.

Ответ: Дисперсия равна 0,02. Оценки являются согласованными.

б)

Исходный набор оценок: 10,6; 9,7; 10,3; 9,5; 10,5; 10,4; 9,6.

1. Упорядочим оценки по возрастанию: 9,5; 9,6; 9,7; 10,3; 10,4; 10,5; 10,6.

2. Отбрасываем наименьшую (9,5) и наибольшую (10,6) оценки. Остаются следующие 5 оценок: 9,6; 9,7; 10,3; 10,4; 10,5.

3. Найдем среднее арифметическое оставшихся оценок:

$\bar{x} = \frac{9,6 + 9,7 + 10,3 + 10,4 + 10,5}{5} = \frac{50,5}{5} = 10,1$.

4. Вычислим дисперсию:

$D = \frac{(9,6-10,1)^2 + (9,7-10,1)^2 + (10,3-10,1)^2 + (10,4-10,1)^2 + (10,5-10,1)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,5)^2 + (-0,4)^2 + (0,2)^2 + (0,3)^2 + (0,4)^2}{5} = \frac{0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,09 + 0,16}{5} = \frac{0,70}{5} = 0,14$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением. Так как $0,14 > 0,09$, оценки не считаются согласованными.

Ответ: Дисперсия равна 0,14. Оценки не являются согласованными.