Номер 19.15, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.15 Деталь по норме должна весить 431 г. Контроль при взвешивании 2000 деталей дал такие результаты:

a) Чему равна мода измерения?

б) Каков процент деталей, вес которых отличается от планового не более чем на два грамма?

в) Составьте таблицу распределения частот.

г) Постройте многоугольник частот. Для удобства из всех вариант вычтите по 431.

а) Чему равна мода измерения?

Модой статистического ряда называется значение признака, которое встречается наиболее часто. В данном случае признаком является вес детали, а частотой — число деталей с этим весом.

Из представленной таблицы видно, что наибольшая частота равна 610, и она соответствует весу детали в 431 г.

Ответ: Мода измерения равна 431 г.

б) Каков процент деталей, вес которых отличается от планового не более чем на два грамма?

Плановый (нормативный) вес детали составляет 431 г. Условие "отличается не более чем на два грамма" означает, что абсолютная разница между фактическим весом ($x$) и плановым весом не превышает 2 г. Математически это записывается как неравенство: $ |x - 431| \le 2 $

Раскроем модуль, что эквивалентно двойному неравенству: $ -2 \le x - 431 \le 2 $

Прибавим 431 ко всем частям неравенства, чтобы найти допустимый диапазон веса: $ 431 - 2 \le x \le 431 + 2 $ $ 429 \le x \le 433 $

В этот диапазон входят детали с весом 429, 430, 431, 432 и 433 г. Подсчитаем общее количество таких деталей, используя данные из таблицы: $ N_{доп} = 220 + 360 + 610 + 430 + 200 = 1820 \text{ деталей} $

Общее количество проконтролированных деталей равно 2000. Теперь вычислим процент деталей, удовлетворяющих условию: $ \text{Процент} = \frac{N_{доп}}{N_{общ}} \times 100\% = \frac{1820}{2000} \times 100\% = 0.91 \times 100\% = 91\% $

Ответ: 91%.

в) Составьте таблицу распределения частот.

Таблица распределения частот показывает распределение абсолютных и/или относительных частот по значениям признака. Исходная таблица уже является распределением абсолютных частот. Дополним её столбцом относительных частот. Относительная частота ($f_i$) вычисляется как отношение абсолютной частоты ($n_i$) к общему объему выборки ($N=2000$).

Ответ: Таблица распределения абсолютных и относительных частот представлена выше.

г) Постройте многоугольник частот. Для удобства из всех вариант вычтите по 431.

Многоугольник частот — это графическое представление дискретного вариационного ряда в виде ломаной линии, соединяющей точки с координатами ($x_i, n_i$), где $x_i$ — значение варианты, а $n_i$ — соответствующая частота.

По условию, для удобства построения из каждой варианты (веса) вычитается 431. Новые значения на оси абсцисс будут представлять собой отклонение веса от нормы ($x'_i = x_i - 431$). Частоты (число деталей) остаются прежними и откладываются по оси ординат.

Данные для построения многоугольника:

• Отклонение -4 г (вес 427 г) $\rightarrow$ частота 40
• Отклонение -3 г (вес 428 г) $\rightarrow$ частота 80
• Отклонение -2 г (вес 429 г) $\rightarrow$ частота 220
• Отклонение -1 г (вес 430 г) $\rightarrow$ частота 360
• Отклонение 0 г (вес 431 г) $\rightarrow$ частота 610
• Отклонение +1 г (вес 432 г) $\rightarrow$ частота 430
• Отклонение +2 г (вес 433 г) $\rightarrow$ частота 200
• Отклонение +3 г (вес 434 г) $\rightarrow$ частота 40
• Отклонение +4 г (вес 435 г) $\rightarrow$ частота 20

Алгоритм построения многоугольника частот:

1. Начертить систему координат. Горизонтальную ось назвать "Отклонение от нормы, г", вертикальную — "Число деталей (частота)".
2. На горизонтальной оси отметить значения отклонений: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
3. На вертикальной оси выбрать подходящий масштаб и разметить значения частот до 610 (например, с шагом 100).
4. Отметить на плоскости точки с координатами (отклонение; частота): $(-4, 40)$, $(-3, 80)$, $(-2, 220)$, $(-1, 360)$, $(0, 610)$, $(1, 430)$, $(2, 200)$, $(3, 40)$, $(4, 20)$.
5. Последовательно соединить отмеченные точки отрезками прямых.
6. Для замкнутости фигуры можно соединить крайние точки с осью абсцисс в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: Для построения многоугольника частот необходимо на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено отклонение веса от нормы (в г), а по оси ординат — число деталей, отметить точки $(-4, 40)$, $(-3, 80)$, $(-2, 220)$, $(-1, 360)$, $(0, 610)$, $(1, 430)$, $(2, 200)$, $(3, 40)$, $(4, 20)$ и последовательно соединить их отрезками.