Номер 19.12, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.12 В сентябре — ноябре Петя получил по русскому языку такие отметки: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Он хотел, чтобы его средняя отметка за первое полугодие стала не меньше 4,5 и планировал для этого получать в декабре одни пятёрки.

а) Какое наименьшее количество пятёрок надо было бы для этого получить?

б) Какова его реальная средняя декабрьская отметка, если на самом деле в декабре он получил отметки 4, 5, 5, 4?

в) Найдите среднее его реальных отметок за первое полугодие.

г) Найдите дисперсию его отметок за первое полугодие.

а) Сначала найдем сумму и количество отметок, полученных Петей с сентября по ноябрь. Отметки: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Их количество $n_1 = 6$. Сумма отметок $S_1 = 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 4 = 25$. Пусть $x$ — наименьшее количество пятёрок, которое Пете нужно получить в декабре, чтобы средняя отметка за полугодие стала не меньше 4,5. Тогда общее количество отметок за полугодие станет $n = 6 + x$, а их сумма $S = 25 + 5x$. Составим и решим неравенство для средней отметки: $\frac{S}{n} \ge 4,5$ $\frac{25 + 5x}{6 + x} \ge 4,5$ Поскольку количество отметок $6 + x$ всегда положительно, мы можем умножить обе части неравенства на это выражение: $25 + 5x \ge 4,5 \cdot (6 + x)$ $25 + 5x \ge 27 + 4,5x$ $5x - 4,5x \ge 27 - 25$ $0,5x \ge 2$ $x \ge 4$ Поскольку $x$ должно быть целым числом, наименьшее количество пятёрок, которое ему нужно было получить, равно 4.
Ответ: 4.

б) Реальные отметки Пети за декабрь: 4, 5, 5, 4. Чтобы найти его реальную среднюю декабрьскую отметку, нужно сложить эти отметки и разделить на их количество. Сумма отметок за декабрь: $4 + 5 + 5 + 4 = 18$. Количество отметок за декабрь: 4. Средняя декабрьская отметка: $\frac{18}{4} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

в) Чтобы найти среднее его реальных отметок за первое полугодие, нужно сложить все отметки, полученные с сентября по декабрь, и разделить на их общее количество. Отметки за сентябрь–ноябрь: 4, 3, 5, 5, 4, 4. Отметки за декабрь: 4, 5, 5, 4. Общий набор отметок: 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 4. Общая сумма всех отметок: $(4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 4) + (4 + 5 + 5 + 4) = 25 + 18 = 43$. Общее количество отметок: $6 + 4 = 10$. Средняя отметка за первое полугодие: $\frac{43}{10} = 4,3$.
Ответ: 4,3.

г) Дисперсия — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии $D$: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $x_i$ — это каждое значение в наборе данных, $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество значений. Из пункта в) мы знаем, что все отметки за полугодие: 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 4. Среднее значение $\bar{x} = 4,3$. Количество отметок $n = 10$. Набор отметок состоит из: одной '3', пяти '4' и четырёх '5'. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего: $\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 = (3 - 4,3)^2 + 5 \cdot (4 - 4,3)^2 + 4 \cdot (5 - 4,3)^2$ $= (-1,3)^2 + 5 \cdot (-0,3)^2 + 4 \cdot (0,7)^2$ $= 1,69 + 5 \cdot 0,09 + 4 \cdot 0,49$ $= 1,69 + 0,45 + 1,96 = 4,1$ Теперь вычислим дисперсию: $D = \frac{4,1}{10} = 0,41$.
Ответ: 0,41.