Номер 19.19, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.19 В наборе $5, 5, \dots, 5$ (20 штук) на двойки заменили $n$ пятёрок.

а) Найдите среднее получившегося набора при $n=5$.

б) Найдите среднее получившегося набора при $n=10$.

в) При каком наименьшем $n$ среднее получившегося набора станет не меньше 4?

г) При каком наименьшем $n$ среднее получившегося набора станет не меньше 3?

Первоначально в наборе было 20 чисел, каждое из которых равно 5.

По условию, $n$ пятёрок заменяют на двойки. Это означает, что после замены в наборе будет $n$ двоек и $(20-n)$ пятёрок. Общее количество чисел в наборе остаётся равным 20.

Сумма $S$ всех элементов нового набора равна сумме $n$ двоек и $(20-n)$ пятёрок:

$S = 2 \cdot n + 5 \cdot (20 - n) = 2n + 100 - 5n = 100 - 3n$.

Среднее арифметическое набора $M$ вычисляется как отношение суммы его элементов к их количеству:

$M = \frac{S}{20} = \frac{100 - 3n}{20}$.

а)

При $n = 5$ подставим это значение в формулу для среднего:

$M = \frac{100 - 3 \cdot 5}{20} = \frac{100 - 15}{20} = \frac{85}{20} = 4,25$.

Ответ: 4,25.

б)

При $n = 10$ подставим это значение в формулу для среднего:

$M = \frac{100 - 3 \cdot 10}{20} = \frac{100 - 30}{20} = \frac{70}{20} = 3,5$.

Ответ: 3,5.

в)

Требуется найти наименьшее целое $n$, при котором среднее $M$ станет меньше 4. Для этого решим неравенство:

$M < 4$

$\frac{100 - 3n}{20} < 4$

Умножим обе части на 20:

$100 - 3n < 80$

$-3n < 80 - 100$

$-3n < -20$

Разделим обе части на -3, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$n > \frac{20}{3}$

$n > 6\frac{2}{3}$

Так как $n$ — это количество заменённых чисел, оно должно быть целым. Наименьшее целое число, которое больше $6\frac{2}{3}$, это 7.

Ответ: 7.

г)

Требуется найти наименьшее целое $n$, при котором среднее $M$ станет меньше 3. Решим неравенство:

$M < 3$

$\frac{100 - 3n}{20} < 3$

Умножим обе части на 20:

$100 - 3n < 60$

Вычтем 100 из обеих частей:

$-3n < -40$

Разделим обе части на -3, поменяв знак неравенства:

$n > \frac{40}{3}$

$n > 13\frac{1}{3}$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это 14.

Ответ: 14.