Номер 20.6, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.6 В задании линейной функции $y = ax + 152$ в качестве коэффициента $a$ наудачу подставляют некоторое число из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$. Найдите вероятность того, что график функции:

а) не пересечёт ось ординат;

б) не пересечёт ось абсцисс;

в) пересечёт ось абсцисс левее точки $(-50; 0)$;

г) не пересечёт четвёртую координатную четверть.

В задаче дана линейная функция $y = ax + 152$. Коэффициент $a$ выбирается случайным образом из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$. Всего возможно 5 равновероятных исходов для значения $a$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов. В нашем случае $n=5$.

а) не пересечёт ось ординат;

График функции пересекает ось ординат (ось $y$) в точке, где $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:$y = a \cdot 0 + 152 = 152$.Это означает, что при любом значении коэффициента $a$ из заданного множества, график функции всегда пересекает ось ординат в точке $(0; 152)$.Следовательно, событие "график не пересечёт ось ординат" невозможно. Число благоприятных исходов $m=0$.Вероятность этого события: $P = \frac{0}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

б) не пересечёт ось абсцисс;

График функции пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точке, где $y=0$. Подставим $y=0$ в уравнение функции:$0 = ax + 152$$ax = -152$Это уравнение имеет решение $x = -\frac{152}{a}$, если коэффициент $a \neq 0$.Если же $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -152$, или $0 = -152$, что является неверным равенством. Это означает, что при $a=0$ у уравнения нет решений, и график функции не пересекает ось абсцисс. В этом случае функция имеет вид $y = 152$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.Из множества $\{-10, -3, 0, 1, 2\}$ только одно значение $a=0$ удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $m=1$.Вероятность этого события: $P = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) пересечёт ось абсцисс левее точки $(-50; 0)$;

Точка пересечения графика с осью абсцисс имеет координату $x = -\frac{152}{a}$ (это возможно только при $a \neq 0$).Условие "левее точки $(-50; 0)$" означает, что абсцисса точки пересечения должна быть меньше $-50$:$-\frac{152}{a} < -50$.Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:$\frac{152}{a} > 50$.Проверим это неравенство для каждого ненулевого значения $a$ из множества $\{-10, -3, 1, 2\}$.
При $a=-10$: $\frac{152}{-10} > 50 \implies -15.2 > 50$. Неверно.
При $a=-3$: $\frac{152}{-3} > 50 \implies -50\frac{2}{3} > 50$. Неверно.
При $a=1$: $\frac{152}{1} > 50 \implies 152 > 50$. Верно.
При $a=2$: $\frac{152}{2} > 50 \implies 76 > 50$. Верно.
Условию удовлетворяют два значения: $a=1$ и $a=2$. Число благоприятных исходов $m=2$.Вероятность этого события: $P = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

г) не пересечёт четвертую координатную четверть.

Четвертая координатная четверть определяется условиями $x>0$ и $y<0$.График функции $y = ax + 152$ не пересечёт четвертую четверть, если для всех $x>0$ будет выполняться условие $y \ge 0$.Точка пересечения с осью $y$ — $(0; 152)$. Эта точка лежит на положительной полуоси ординат.
Рассмотрим поведение функции при $x>0$ в зависимости от знака $a$.
- Если $a>0$ (значения $1, 2$), функция возрастает. Так как при $x=0$ значение $y=152>0$, то для всех $x>0$ значение $y$ будет еще больше. Следовательно, график будет находиться в I и II четвертях и не пересечёт IV четверть. Эти значения $a$ являются благоприятными.
- Если $a=0$, функция имеет вид $y=152$. Это горизонтальная прямая, которая проходит через I и II четверти и не пересекает IV четверть. Это значение $a$ является благоприятным.
- Если $a<0$ (значения $-10, -3$), функция убывает. Она пересекает ось $y$ в точке $(0; 152)$ и, убывая, пересечёт ось $x$ в точке $x = -\frac{152}{a} > 0$. Для всех $x$, больших этой точки пересечения, значения $y$ будут отрицательными. Таким образом, часть графика будет находиться в IV четверти. Эти значения $a$ не являются благоприятными.
Благоприятными являются значения $a \in \{0, 1, 2\}$. Число благоприятных исходов $m=3$.Вероятность этого события: $P = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.