Номер 20.11, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.11 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 + 4x - 21 \leq 0$. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства:

а) $-8 \leq x \leq 1$;

б) $x^2 - 4x - 21 \leq 0$;

в) $\frac{x+5}{2-x} \geq 0$;

г) $x^2 \leq 6$?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события (выбранное решение удовлетворяет дополнительному неравенству) вычисляется как отношение меры (в данном случае, длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства элементарных исходов.

Сначала найдем множество решений исходного неравенства $x^2 + 4x - 21 \le 0$, которое представляет собой пространство элементарных исходов.

Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 21$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 4x - 21 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-7, 3]$.

Это множество $M = [-7, 3]$ является пространством элементарных исходов. Его длина (мера) равна $L(M) = 3 - (-7) = 10$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных неравенств.

а) $-8 \le x \le 1$

Множество решений этого неравенства — отрезок $A = [-8, 1]$.
Найдем пересечение этого множества с множеством решений исходного неравенства: $M \cap A = [-7, 3] \cap [-8, 1] = [-7, 1]$.
Длина полученного отрезка (множества благоприятных исходов) равна $L(M \cap A) = 1 - (-7) = 8$.
Вероятность того, что случайно выбранное решение из отрезка $[-7, 3]$ также принадлежит отрезку $[-8, 1]$, равна отношению длин:
$P(A) = \frac{L(M \cap A)}{L(M)} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

б) $x^2 - 4x - 21 \le 0$

Решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.
Множество решений этого неравенства — отрезок $B = [-3, 7]$.
Найдем пересечение: $M \cap B = [-7, 3] \cap [-3, 7] = [-3, 3]$.
Длина полученного отрезка равна $L(M \cap B) = 3 - (-3) = 6$.
Вероятность: $P(B) = \frac{L(M \cap B)}{L(M)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

в) $\frac{x+5}{2-x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
Нули знаменателя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$. Точка $x=2$ не входит в решение.
Нанесем точки $-5$ и $2$ на числовую прямую и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -5]$, $[-5, 2)$ и $(2, +\infty)$.
Выражение $\frac{x+5}{2-x}$ положительно на интервале $(-5, 2)$ и равно нулю при $x=-5$.
Таким образом, множество решений неравенства — полуинтервал $C = [-5, 2)$.
Найдем пересечение: $M \cap C = [-7, 3] \cap [-5, 2) = [-5, 2)$.
Длина полученного полуинтервала равна $L(M \cap C) = 2 - (-5) = 7$.
Вероятность: $P(C) = \frac{L(M \cap C)}{L(M)} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$

г) $x^2 \le 6$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.
Множество решений — отрезок $D = [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Так как $-7 < -\sqrt{6}$ (поскольку $49 > 6$) и $\sqrt{6} < 3$ (поскольку $6 < 9$), то отрезок $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$ полностью содержится в отрезке $[-7, 3]$.
Следовательно, пересечение множеств $M \cap D = [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.
Длина полученного отрезка равна $L(M \cap D) = \sqrt{6} - (-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.
Вероятность: $P(D) = \frac{L(M \cap D)}{L(M)} = \frac{2\sqrt{6}}{10} = \frac{\sqrt{6}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{5}$