Номер 20.14, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.14 Монету подбрасывают четыре раза. Какова вероятность того, что:

а) все четыре раза результат будет одним и тем же;

б) при первых трёх подбрасываниях выпадет решка;

в) в последний раз выпадет орёл;

г) орлов и решек выпадет одинаково?

Для решения задачи определим общее число возможных исходов. При каждом подбрасывании монеты есть два равновероятных исхода: орёл (О) или решка (Р). Поскольку монету подбрасывают четыре раза и броски являются независимыми событиями, общее число всех возможных элементарных исходов равно $N = 2^4 = 16$. Все эти исходы равновероятны.

а) все четыре раза результат будет одним и тем же;
Это событие (назовем его A) происходит в двух случаях: если все четыре раза выпал орёл (ОООО) или если все четыре раза выпала решка (РРРР). Таким образом, число благоприятных исходов $m_A = 2$. Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) при первых трёх подбрасываниях выпадет решка;
Пусть событие B заключается в том, что первые три результата — решка (РРР). Четвертый результат может быть любым: орлом или решкой. Следовательно, благоприятными исходами являются последовательности: РРРР и РРРО. Число благоприятных исходов $m_B = 2$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Также можно отметить, что вероятность выпадения решки в каждом из первых трех независимых бросков равна $\frac{1}{2}$. Итоговая вероятность произведения этих событий: $P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) в последний раз выпадет орёл;
Событие C — в четвертый (последний) раз выпадает орёл. Результаты первых трех бросков могут быть любыми. Для первых трех бросков существует $2^3 = 8$ различных комбинаций. Каждая из них в сочетании с орлом на четвертом месте является благоприятным исходом. Значит, число благоприятных исходов $m_C = 8$. Вероятность события C: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Так как все броски независимы, вероятность выпадения орла в любом конкретном броске (в том числе и в последнем) равна $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) орлов и решек выпадет одинаково?
Событие D — количество орлов и решек одинаково. При четырех бросках это означает, что выпадет 2 орла и 2 решки. Число благоприятных исходов $m_D$ равно числу способов выбрать 2 позиции для орлов из 4 возможных. Это число сочетаний из 4 по 2: $m_D = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Благоприятные исходы: ООРР, ОРОР, ОРРО, РРОО, РОРО, РООР. Вероятность события D: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$