Номер 20.16, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.16 В уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ в качестве радиуса $R$ подставляют натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что:

а) точка $(1; 0)$ будет лежать на этой окружности;

б) точка $(0; -1)$ будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;

в) точка $(1; 3)$ не будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;

г) эта окружность не будет пересекать прямую $y = \sqrt{123}$.

По условию задачи, радиус $R$ окружности $x^2 + y^2 = R^2$ выбирается случайным образом из множества натуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots, 20\}$. Общее число возможных исходов равно 20. Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов. В нашем случае $n=20$.

а) точка (1; 0) будет лежать на этой окружности;
Точка $(x_0; y_0)$ лежит на окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точки $(1; 0)$ в уравнение $x^2 + y^2 = R^2$:
$1^2 + 0^2 = R^2$
$1 = R^2$
Поскольку $R$ — натуральное число, то единственное подходящее значение — это $R=1$.
Таким образом, существует только одно благоприятное значение радиуса из 20 возможных.
Вероятность этого события: $P = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) точка (0; -1) будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
Круг, ограниченный окружностью $x^2 + y^2 = R^2$, задается неравенством $x^2 + y^2 \le R^2$. Точка $(x_0; y_0)$ принадлежит кругу, если ее координаты удовлетворяют этому неравенству. Подставим координаты точки $(0; -1)$:
$0^2 + (-1)^2 \le R^2$
$1 \le R^2$
Так как $R$ — натуральное число, это неравенство эквивалентно $R \ge 1$.
Этому условию удовлетворяют все возможные значения радиуса из множества $\{1, 2, \dots, 20\}$.
Число благоприятствующих исходов равно 20.
Вероятность этого события: $P = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: $1$

в) точка (1; 3) не будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
Точка не принадлежит кругу, если ее координаты не удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le R^2$. Это означает, что для точки $(1; 3)$ должно выполняться условие $x^2 + y^2 > R^2$. Подставим координаты:
$1^2 + 3^2 > R^2$
$1 + 9 > R^2$
$10 > R^2$, или $R^2 < 10$.
Поскольку $R$ — натуральное число, нам нужно найти все такие $R$, что $R < \sqrt{10}$.
Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $\sqrt{10} \approx 3.16$.
Натуральные значения $R$, удовлетворяющие условию $R < \sqrt{10}$, это $R \in \{1, 2, 3\}$.
Число благоприятствующих исходов равно 3.
Вероятность этого события: $P = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$

г) эта окружность не будет пересекать прямую $y = \sqrt{123}$.
Окружность $x^2 + y^2 = R^2$ имеет центр в точке $(0; 0)$ и радиус $R$. Прямая $y = \sqrt{123}$ является горизонтальной. Окружность не пересекает прямую, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса.
Расстояние от центра $(0; 0)$ до прямой $y = \sqrt{123}$ равно $\sqrt{123}$.
Таким образом, должно выполняться неравенство $R < \sqrt{123}$.
Оценим значение $\sqrt{123}$: $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, следовательно, $11 < \sqrt{123} < 12$.
Нам нужно найти все натуральные значения $R$ из диапазона от 1 до 20, которые удовлетворяют условию $R < \sqrt{123}$. Это числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.
Число благоприятствующих исходов равно 11.
Вероятность этого события: $P = \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$