Номер 20.17, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.17 В уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$ в качестве коэффициента $k$ подставляют некоторое число из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Найдите вероятность того, что такая гипербола:

a) пройдёт через начало координат;

б) пересечёт прямую $y = x$;

в) пройдёт через точку $(-5; 0,4)$;

г) не пересечёт окружность $x^2 + y^2 = 1$.

В задаче рассматривается уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$. Коэффициент $k$ выбирается случайным образом из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Всего существует 5 равновероятных исходов (значений для $k$). Вероятность любого события будет вычисляться как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов, то есть к 5.

а) пройдёт через начало координат;

Начало координат — это точка $(0, 0)$. Чтобы график функции проходил через эту точку, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Попробуем подставить $x=0$ и $y=0$ в уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$:$0 = \frac{k}{0}$Данное выражение не имеет смысла, так как деление на ноль не определено. Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ (при любом $k \neq 0$ из заданного множества) исключает значение $x=0$. Следовательно, ни одна из рассматриваемых гипербол не может пройти через начало координат.Число благоприятствующих исходов равно 0.Вероятность этого события: $P = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0

б) пересечёт прямую y = x;

Чтобы найти точки пересечения гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и прямой $y = x$, необходимо решить систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = x \end{cases} $$Приравняем правые части уравнений: $x = \frac{k}{x}$.Умножив обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$), получим уравнение $x^2 = k$.Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда $k \ge 0$.Рассмотрим заданное множество значений для $k$: $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$.Условию $k \ge 0$ удовлетворяют значения $k=1$, $k=3$ и $k=4$. Для $k=-5$ и $k=-2$ уравнение $x^2=k$ не имеет действительных корней.Таким образом, у нас есть 3 благоприятствующих исхода.Вероятность этого события: $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в) пройдёт через точку (-5; 0,4);

Чтобы гипербола $y = \frac{k}{x}$ проходила через точку $(-5; 0,4)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению. Подставим $x = -5$ и $y = 0,4$ в уравнение:$0,4 = \frac{k}{-5}$Выразим $k$:$k = 0,4 \cdot (-5) = -2$Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденное значение $k=-2$ исходному множеству $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$. Да, принадлежит.Это означает, что только при одном значении $k$ из множества гипербола пройдет через заданную точку.Число благоприятствующих исходов равно 1.Вероятность этого события: $P = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не пересечёт окружность x² + y² = 1.

Чтобы найти, при каких значениях $k$ гипербола $y = \frac{k}{x}$ не пересекает окружность $x^2 + y^2 = 1$, сначала найдем условие их пересечения. Для этого решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (\frac{k}{x})^2 = 1$$x^2 + \frac{k^2}{x^2} = 1$Умножим обе части на $x^2$ (поскольку $x \neq 0$):$x^4 + k^2 = x^2$$x^4 - x^2 + k^2 = 0$Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, $t > 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - t + k^2 = 0$Графики пересекаются, если это квадратное уравнение относительно $t$ имеет хотя бы один действительный положительный корень. Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D \ge 0$.$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k^2 = 1 - 4k^2$Условие $D \ge 0$ означает $1 - 4k^2 \ge 0$, или $k^2 \le \frac{1}{4}$, что равносильно $-\frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2}$.Соответственно, графики **не пересекаются**, если система не имеет действительных решений, то есть когда $D < 0$.$1 - 4k^2 < 0 \implies 4k^2 > 1 \implies k^2 > \frac{1}{4}$Это неравенство выполняется, когда $k > \frac{1}{2}$ или $k < -\frac{1}{2}$.Проверим, какие значения из множества $\{-5, -2, 1, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию:

• Для $k = -5$: $(-5)^2 = 25 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = -2$: $(-2)^2 = 4 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 1$: $1^2 = 1 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 3$: $3^2 = 9 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.
• Для $k = 4$: $4^2 = 16 > \frac{1}{4}$ — условие выполнено.

Все 5 значений из заданного множества приводят к тому, что гипербола не пересекает окружность.Число благоприятствующих исходов равно 5.Вероятность этого события: $P = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: 1