Номер 20.13, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.13 Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 случайным образом составляют двузначное число (повторения допускаются). Какова вероятность того, что получится:

а) наименьшее из всех таких чисел;

б) чётное число;

в) число, кратное 9;

г) число, удалённое от 50 менее чем на 20?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов, то есть сколько всего двузначных чисел можно составить из данных цифр.

Дан набор цифр: {0, 1, 4, 8, 9}. Всего 5 цифр. Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. На месте первой цифры (десятки) может быть любая из данных цифр, кроме 0, так как иначе число не будет двузначным. Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта: 1, 4, 8, 9. На месте второй цифры (единицы) может быть любая из 5 данных цифр, поскольку повторения допускаются. Варианты для второй цифры: 0, 1, 4, 8, 9.

Общее число $N$ всех возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N = 4 \times 5 = 20$.

Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) наименьшее из всех таких чисел

Чтобы найти наименьшее число, рассмотрим все возможные числа, начиная с наименьшей возможной первой цифры (1). Наименьшее число получится, если на месте десятков стоит наименьшая возможная цифра (1), а на месте единиц — также наименьшая возможная цифра (0). Таким образом, наименьшее из всех таких чисел — это 10.

Это единственный благоприятный исход, поэтому число благоприятных исходов $m = 1$. Вероятность того, что получится наименьшее число, равна: $P(а) = \frac{m}{N} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) чётное число

Чётное число — это число, которое оканчивается на чётную цифру. Из нашего набора {0, 1, 4, 8, 9} чётными являются цифры {0, 4, 8}. Таким образом, для второй цифры (единицы) есть 3 варианта. Для первой цифры (десятки) по-прежнему 4 варианта {1, 4, 8, 9}.

Число благоприятных исходов $m$ (количество чётных чисел) можно найти, перемножив количество вариантов для каждой цифры: $m = 4 \times 3 = 12$.

Вероятность того, что получится чётное число: $P(б) = \frac{m}{N} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

в) число, кратное 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим все возможные комбинации первой и второй цифр.

• Первая цифра 1: $1 + x$ должно быть кратно 9. Подходит $x=8$. Число 18.
• Первая цифра 4: $4 + x$ должно быть кратно 9. Среди {0, 1, 4, 8, 9} подходящего $x$ нет.
• Первая цифра 8: $8 + x$ должно быть кратно 9. Подходит $x=1$. Число 81.
• Первая цифра 9: $9 + x$ должно быть кратно 9. Подходят $x=0$ и $x=9$. Числа 90 и 99.

Таким образом, благоприятные исходы — это числа 18, 81, 90, 99. Всего 4 благоприятных исхода, следовательно, $m = 4$.

Вероятность того, что получится число, кратное 9: $P(в) = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) число, удалённое от 50 менее чем на 20

Пусть искомое число — это $X$. Условие "число, удалённое от 50 менее чем на 20" можно записать в виде неравенства с модулем: $|X - 50| < 20$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-20 < X - 50 < 20$. Прибавив 50 ко всем трём частям, получим: $50 - 20 < X < 50 + 20$, $30 < X < 70$.

Теперь необходимо найти, сколько из 20 возможных чисел попадают в этот интервал. Подходящие числа — это те, у которых первая цифра 4. Таких чисел 5: 40, 41, 44, 48, 49. Все они больше 30 и меньше 70. Числа, начинающиеся на 1, меньше 30. Числа, начинающиеся на 8 или 9, больше 70.

Таким образом, у нас 5 благоприятных исходов: 40, 41, 44, 48, 49. Число благоприятных исходов $m = 5$.

Вероятность получить такое число: $P(г) = \frac{m}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$