Номер 20.7, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.7 В каждую клетку таблички $2\times2$ случайным образом ставят крестик или нолик. Найдите вероятность того, что:

а) будет поставлен ровно один крестик;

б) будет поставлено ровно два нолика;

в) в левой нижней клетке будет стоять крестик;

г) в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Таблица размером 2×2 состоит из 4 клеток. В каждую клетку случайным образом ставится либо крестик, либо нолик, то есть для каждой клетки есть 2 варианта. Так как заполнение клеток — независимые события, общее число способов заполнить таблицу равно $N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$. Все эти 16 исходов являются равновероятными.

а) будет поставлен ровно один крестик

Пусть событие А заключается в том, что в таблице поставлен ровно один крестик. Это означает, что остальные три клетки должны быть заполнены ноликами. Число благоприятствующих этому событию исходов равно числу способов выбрать одну клетку для крестика из четырех. Это можно рассчитать с помощью числа сочетаний $C_n^k$.

Количество благоприятных исходов $M_a = C_4^1 = \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) будет поставлено ровно два нолика

Пусть событие Б заключается в том, что в таблице поставлено ровно два нолика. Это также означает, что две оставшиеся клетки заняты крестиками. Число благоприятных исходов — это количество способов выбрать две клетки для ноликов из четырех.

Количество благоприятных исходов $M_б = C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Вероятность события Б равна: $P(Б) = \frac{M_б}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

в) в левой нижней клетке будет стоять крестик

Пусть событие В заключается в том, что в левой нижней клетке стоит крестик. В этом случае содержимое одной клетки зафиксировано (1 вариант — крестик). Каждая из трех оставшихся клеток может быть заполнена либо крестиком, либо ноликом, то есть для каждой из них есть 2 варианта.

Число благоприятных исходов $M_в$ равно произведению числа вариантов для каждой из оставшихся клеток: $M_в = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$.

Вероятность события В равна: $P(В) = \frac{M_в}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки

Пусть событие Г заключается в том, что в верхней левой и нижней правой клетках стоят разные значки. Содержимое двух других клеток (верхней правой и нижней левой) может быть любым, что дает $2 \times 2 = 4$ варианта для их заполнения. Для указанных двух клеток (верхней левой и нижней правой) есть два благоприятных варианта:

1. Верхняя левая — крестик, нижняя правая — нолик.

2. Верхняя левая — нолик, нижняя правая — крестик.

Для каждого из этих двух вариантов есть 4 способа заполнить остальные две клетки. Таким образом, общее число благоприятных исходов $M_г = 2 \cdot 4 = 8$.

Вероятность события Г равна: $P(Г) = \frac{M_г}{N} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$