Номер 20.12, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.12 В прямоугольнике $ABCD$ отмечают середины $K$ и $L$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, а также точки $M$ и $N$ на сторонах $AB$ и $BC$ так, что $AM : MB = 1 : 3$ и $BN : NC = 1 : 2$. В прямоугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:

а) в треугольнике $KCN$;

б) в треугольнике $MBN$;

в) вне треугольника $AMC$;

г) в четырёхугольнике $MNKL$?

Для решения задачи по геометрической вероятности, введем обозначения для сторон прямоугольника $ABCD$: пусть длина стороны $AB = CD = a$, а ширина $AD = BC = b$. Тогда площадь прямоугольника, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна $S_{ABCD} = a \cdot b$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется в некоторой области внутри прямоугольника, вычисляется как отношение площади этой области к общей площади прямоугольника.

Определим длины отрезков, исходя из условий задачи:

• $K$ — середина стороны $CD$, следовательно, $CK = KD = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.
• $L$ — середина стороны $AD$, следовательно, $AL = LD = \frac{1}{2} AD = \frac{b}{2}$.
• Точка $M$ на стороне $AB$ делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 3$, поэтому $AM = \frac{1}{4} AB = \frac{a}{4}$ и $MB = \frac{3}{4} AB = \frac{3a}{4}$.
• Точка $N$ на стороне $BC$ делит ее в отношении $BN : NC = 1 : 2$, поэтому $BN = \frac{1}{3} BC = \frac{b}{3}$ и $NC = \frac{2}{3} BC = \frac{2b}{3}$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая.

а) в треугольнике KCN;

Треугольник $KCN$ является прямоугольным, так как угол $C$ — это угол прямоугольника. Его катеты — $CK$ и $CN$.

Площадь треугольника $KCN$ вычисляется по формуле: $S_{KCN} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot NC$.

Подставим значения длин катетов: $S_{KCN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{2ab}{12} = \frac{ab}{6}$.

Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $KCN$, равна: $P(KCN) = \frac{S_{KCN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/6}{ab} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) в треугольнике MBN;

Треугольник $MBN$ является прямоугольным с прямым углом $B$. Его катеты — $MB$ и $BN$.

Площадь треугольника $MBN$ равна: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BN$.

Подставим значения длин катетов: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{4} \cdot \frac{b}{3} = \frac{3ab}{24} = \frac{ab}{8}$.

Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $MBN$, равна: $P(MBN) = \frac{S_{MBN}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/8}{ab} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) вне треугольника AMC;

Сначала найдем вероятность того, что точка окажется внутри треугольника $AMC$. Затем вычтем эту вероятность из 1.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его основание $AM$ лежит на стороне $AB$. Высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AM$ (или его продолжению), равна стороне прямоугольника $BC = b$.

Площадь треугольника $AMC$ равна: $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot b = \frac{ab}{8}$.

Вероятность попадания точки в треугольник $AMC$ составляет: $P(\text{внутри } AMC) = \frac{S_{AMC}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/8}{ab} = \frac{1}{8}$.

Следовательно, вероятность того, что точка окажется вне треугольника $AMC$, равна: $P(\text{вне } AMC) = 1 - P(\text{внутри } AMC) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

г) в четырёхугольнике MNKL?

Площадь четырёхугольника $MNKL$ можно найти, вычтя из площади всего прямоугольника $ABCD$ площади четырех "угловых" треугольников: $ALM$, $MBN$, $NCK$ и $KDL$.

Найдем площади этих треугольников:

• $S_{ALM}$: прямоугольный треугольник с катетами $AL = \frac{b}{2}$ и $AM = \frac{a}{4}$. $S_{ALM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{16}$.
• $S_{MBN}$: площадь уже найдена в пункте б), $S_{MBN} = \frac{ab}{8}$.
• $S_{NCK}$: площадь уже найдена в пункте а) (как $S_{KCN}$), $S_{NCK} = \frac{ab}{6}$.
• $S_{KDL}$: прямоугольный треугольник с катетами $KD = \frac{a}{2}$ и $DL = \frac{b}{2}$. $S_{KDL} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Суммарная площадь этих четырех треугольников равна: $S_{углов} = S_{ALM} + S_{MBN} + S_{NCK} + S_{KDL} = \frac{ab}{16} + \frac{ab}{8} + \frac{ab}{6} + \frac{ab}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 48: $S_{углов} = ab \left( \frac{3}{48} + \frac{6}{48} + \frac{8}{48} + \frac{6}{48} \right) = ab \left( \frac{3+6+8+6}{48} \right) = \frac{23ab}{48}$.

Площадь четырёхугольника $MNKL$ равна: $S_{MNKL} = S_{ABCD} - S_{углов} = ab - \frac{23ab}{48} = \frac{48ab - 23ab}{48} = \frac{25ab}{48}$.

Вероятность того, что точка окажется в четырёхугольнике $MNKL$, равна: $P(MNKL) = \frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}} = \frac{25ab/48}{ab} = \frac{25}{48}$.

Ответ: $\frac{25}{48}$