Номер 20.18, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.18 Из четырёх тузов случайным образом поочерёдно вытаскивают две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты — тузы чёрной масти;

б) вторая карта — пиковый туз;

в) первая карта — туз красной масти;

г) среди выбранных карт есть бубновый туз.

В задаче рассматривается эксперимент по извлечению двух карт из четырёх тузов (пиковый, трефовый, червовый, бубновый) без возвращения. Всего имеется 4 туза: 2 чёрной масти (пиковый, трефовый) и 2 красной масти (червовый, бубновый).

Поскольку карты вытаскивают поочерёдно, порядок их извлечения важен. Общее число возможных исходов можно рассчитать как число размещений из 4 элементов по 2. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (общее число тузов) и $k=2$ (число извлекаемых карт).

Общее число исходов: $N = A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$.

а) обе карты — тузы чёрной масти;

Найдём вероятность того, что обе извлечённые карты окажутся тузами чёрной масти. В колоде два туза чёрной масти: пиковый и трефовый.

Способ 1: Использование условной вероятности.

Пусть событие A — первая карта является тузом чёрной масти, а событие B — вторая карта также является тузом чёрной масти. Вероятность вытащить первым чёрного туза: $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, так как из 4 тузов 2 — чёрные. После того как вытащили один чёрный туз, осталось 3 туза, из которых только 1 — чёрный. Вероятность вытащить вторым чёрный туз при условии, что первый был чёрным: $P(B|A) = \frac{1}{3}$. Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей: $P = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Способ 2: Подсчёт благоприятных исходов.

Благоприятными исходами являются упорядоченные пары чёрных тузов: (пиковый, трефовый) и (трефовый, пиковый). Всего 2 благоприятных исхода. Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) вторая карта — пиковый туз;

Найдём вероятность того, что второй извлечённой картой будет пиковый туз.

Способ 1: Логическое рассуждение.

Поскольку карты извлекаются случайным образом, любой из четырёх тузов имеет равные шансы оказаться на любом месте (первом или втором). Следовательно, вероятность того, что на втором месте окажется именно пиковый туз, равна $\frac{1}{4}$.

Способ 2: Использование формулы полной вероятности.

Пусть событие B — «вторая карта — пиковый туз». Это событие зависит от того, какая карта была извлечена первой.
1. Первая карта — пиковый туз (событие A₁). Вероятность $P(A_1) = \frac{1}{4}$. В этом случае вторая карта не может быть пиковым тузом, так как карты не возвращаются. $P(B|A_1) = 0$.
2. Первая карта — не пиковый туз (событие A₂). Вероятность $P(A_2) = \frac{3}{4}$. В этом случае осталось 3 карты, среди которых есть пиковый туз. Вероятность вытащить его вторым: $P(B|A_2) = \frac{1}{3}$.
По формуле полной вероятности: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{1}{4} \times 0 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) первая карта — туз красной масти;

Найдём вероятность того, что первая извлечённая карта — туз красной масти. Это событие относится только к первому извлечению. В колоде 4 туза, из них 2 — красной масти (червовый и бубновый). Вероятность вытащить туза красной масти равна отношению числа красных тузов к общему числу тузов.

$P = \frac{\text{число красных тузов}}{\text{общее число тузов}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) среди выбранных карт есть бубновый туз.

Найдём вероятность того, что среди двух извлечённых карт окажется бубновый туз. Это событие произойдёт, если бубновый туз будет либо первой, либо второй картой.

Способ 1: Через противоположное событие.

Противоположное событие — «среди выбранных карт нет бубнового туза». Найдём его вероятность.
Вероятность того, что первая карта — не бубновый туз, равна $\frac{3}{4}$ (так как 3 из 4 тузов не бубновые).
Если первая карта была не бубновой, то осталось 3 карты, из которых 2 — не бубновые. Вероятность, что и вторая карта — не бубновый туз, равна $\frac{2}{3}$.
Вероятность того, что ни одна из карт не является бубновым тузом, равна произведению этих вероятностей: $P(\text{нет бубнового}) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Тогда искомая вероятность (наличия бубнового туза) равна: $P(\text{есть бубновый туз}) = 1 - P(\text{нет бубнового}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Подсчёт благоприятных исходов.

Благоприятные исходы — это те пары, где присутствует бубновый туз (Б).
Если бубновый туз на первом месте: (Б, Пик), (Б, Треф), (Б, Черви) — 3 исхода.
Если бубновый туз на втором месте: (Пик, Б), (Треф, Б), (Черви, Б) — ещё 3 исхода.
Всего $3+3=6$ благоприятных исходов из 12 возможных.
Вероятность: $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.