Номер 20.20, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.20 Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что:

а) оно не оканчивается нулём;

б) среди его цифр есть хотя бы одна, которая больше двух;

в) оно не является квадратом другого целого числа;

г) сумма его цифр меньше $17$.

Всего в промежутке [100; 200] находится $N = 200 - 100 + 1 = 101$ натуральное число. Это общее число равновозможных исходов для всех подпунктов задачи. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов.

а) оно не оканчивается нулём
Сначала найдём количество чисел в данном промежутке, которые оканчиваются на ноль. Это все числа, кратные 10. В промежутке [100; 200] это числа: 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200. Всего таких чисел 11. Событие, которое нас интересует, — «число не оканчивается нулём». Количество благоприятных исходов для этого события равно разности общего числа исходов и числа исходов, когда число оканчивается на ноль: $m = 101 - 11 = 90$. Тогда искомая вероятность равна: $P = \frac{90}{101}$.
Ответ: $\frac{90}{101}$

б) среди его цифр есть хотя бы одна, которая больше двух
Удобнее найти вероятность противоположного события: «все цифры числа меньше или равны двум», а затем вычесть её из единицы. Найдём все числа из промежутка [100; 200], у которых все цифры принадлежат множеству $\{0, 1, 2\}$. 1. Для чисел в диапазоне от 100 до 199 первая цифра всегда 1. Вторая и третья цифры могут быть 0, 1 или 2. Количество таких комбинаций для второй и третьей цифры равно $3 \times 3 = 9$. Это числа: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122. 2. Число 200. Его цифры (2, 0, 0) также удовлетворяют условию. Итого, всего $9 + 1 = 10$ чисел, у которых все цифры не больше двух. Тогда количество чисел, у которых есть хотя бы одна цифра больше двух, равно $m = 101 - 10 = 91$. Искомая вероятность: $P = \frac{91}{101}$.
Ответ: $\frac{91}{101}$

в) оно не является квадратом другого целого числа
Найдём количество чисел в промежутке [100; 200], которые являются полными квадратами целых чисел. Пусть $k$ — целое число. Мы ищем $k^2$ такие, что $100 \le k^2 \le 200$. Извлекая квадратный корень из неравенства, получаем $10 \le k \le \sqrt{200}$. Поскольку $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$, то $k$ может принимать целые значения от 10 до 14 включительно. Это значения $k$: 10, 11, 12, 13, 14. Соответствующие им квадраты: $10^2 = 100$, $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$. Всего 5 таких чисел. Количество чисел, которые не являются квадратами, равно $m = 101 - 5 = 96$. Вероятность этого события: $P = \frac{96}{101}$.
Ответ: $\frac{96}{101}$

г) сумма его цифр меньше 17
Найдём вероятность противоположного события: «сумма цифр числа больше или равна 17». Рассмотрим числа из промежутка [100; 200]. 1. Для числа 200 сумма цифр равна $2+0+0=2$, что меньше 17. 2. Для чисел вида $1bc$ (от 100 до 199) сумма цифр равна $1+b+c$. Ищем числа, для которых $1+b+c \ge 17$, то есть $b+c \ge 16$. Рассмотрим возможные суммы для цифр $b$ и $c$:

• Если $b+c = 16$, то возможны пары $(b, c)$: (7, 9), (8, 8), (9, 7). Это даёт числа: 179, 188, 197 (3 числа).
• Если $b+c = 17$, то возможны пары $(b, c)$: (8, 9), (9, 8). Это даёт числа: 189, 198 (2 числа).
• Если $b+c = 18$, то возможна пара $(b, c)$: (9, 9). Это даёт число: 199 (1 число).

Всего чисел, у которых сумма цифр больше или равна 17, получается $3+2+1 = 6$. Следовательно, количество чисел, у которых сумма цифр меньше 17, равно $m = 101 - 6 = 95$. Вероятность этого события: $P = \frac{95}{101}$.
Ответ: $\frac{95}{101}$