Номер 21.1, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Экспериментальные данные и вероятности событий. Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 21.1, страница 136.

21.1 а) Сколько чисел, кратных четырём, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, кратных четырём, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, кратных четырём, среди первых $n$ натуральных чисел.

г) К какому числу приближается частота с увеличением $n$?

$n$	17	18	19	20	27	28	29	30	40	60	80	100
Кол-во чисел, кратных 4, среди чисел от 1 до $n$
Частота

а)

Чтобы найти количество чисел, кратных четырём, среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17), нужно перечислить все числа из этого диапазона, которые делятся на 4 без остатка. Такими числами являются: 4, 8, 12, 16. Всего таких чисел 4.

Альтернативный способ — использовать операцию целочисленного деления. Количество чисел, кратных $k$, среди первых $n$ натуральных чисел, равно целой части от деления $n$ на $k$. В данном случае:

$K = \lfloor \frac{17}{4} \rfloor = \lfloor 4.25 \rfloor = 4$

Ответ: 4.

б)

Частота события — это отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех возможных исходов. В этой задаче событие — это выбор числа, кратного четырём.

• Количество благоприятствующих исходов (чисел, кратных 4) равно 4 (из пункта а).
• Общее число исходов (всех натуральных чисел) равно 17.

Следовательно, искомая частота равна отношению этих двух величин:

Частота = $\frac{\text{Количество чисел, кратных 4}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{4}{17}$

Ответ: $\frac{4}{17}$.

в)

Для заполнения таблицы для каждого значения $n$ нужно вычислить две величины:

1. Количество чисел, кратных 4, среди чисел от 1 до $n$: Эта величина вычисляется по формуле $K(n) = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.
2. Частота: Эта величина вычисляется как отношение количества $K(n)$ к общему числу $n$, то есть по формуле $F(n) = \frac{K(n)}{n}$.

Ниже представлена заполненная таблица:

n	17	18	19	20	27	28	29	30	40	60	80	100
Кол-во чисел, кратных 4, среди чисел от 1 до n	4	4	4	5	6	7	7	7	10	15	20	25
Частота	$\frac{4}{17}$	$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$	$\frac{4}{19}$	$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$	$\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$	$\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$	$\frac{7}{29}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$	$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$	$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$	$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

г)

Частота появления чисел, кратных четырём, среди первых $n$ натуральных чисел, задается функцией $F(n) = \frac{\lfloor n/4 \rfloor}{n}$. Чтобы определить, к какому числу приближается частота с увеличением $n$, нужно найти предел этой функции при $n \to \infty$.

Воспользуемся свойством целой части числа: $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.

Подставим $x = n/4$:

$\frac{n}{4} - 1 < \lfloor \frac{n}{4} \rfloor \le \frac{n}{4}$

Теперь разделим все части этого двойного неравенства на $n$ (так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, знак неравенства не меняется):

$\frac{\frac{n}{4} - 1}{n} < \frac{\lfloor \frac{n}{4} \rfloor}{n} \le \frac{\frac{n}{4}}{n}$

Упростим левую и правую части:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{n} < F(n) \le \frac{1}{4}$

Теперь найдём пределы левой и правой частей неравенства при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Так как функция $F(n)$ "зажата" между двумя выражениями, которые стремятся к одному и тому же числу $\frac{1}{4}$, то по теореме о сжатии (также известной как теорема о двух милиционерах), предел самой функции $F(n)$ также равен этому числу.

$\lim_{n \to \infty} F(n) = \frac{1}{4}$

Таким образом, с увеличением $n$ частота приближается к числу $\frac{1}{4}$ или $0.25$. Это можно заметить и по таблице из пункта в): для больших $n$ значения частоты становятся очень близки к $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ (или $0.25$).