Страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.21 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $|x - 4| \le 5$. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства:

а) $|x| \le 1;$ в) $4 \le |x| \le 5;$

б) $|x| \ge 2;$ г) $|x + 4| \le 5?$

Сначала найдем множество всех решений основного неравенства $|x - 4| \le 5$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 \le x - 4 \le 5$. Прибавив 4 ко всем частям, получим $-1 \le x \le 9$.

Таким образом, множество всех возможных решений (пространство элементарных событий) — это отрезок $S = [-1, 9]$. Длина этого отрезка, которая является мерой этого множества, равна $L(S) = 9 - (-1) = 10$.

Вероятность в задачах такого типа (геометрическая вероятность) вычисляется как отношение длины множества благоприятных исходов к длине всего множества возможных исходов.

а) $|x| \le 1$

Решениями неравенства $|x| \le 1$ является множество $A = [-1, 1]$.

Найдем, какая часть этих решений принадлежит основному множеству $S$. Для этого найдем пересечение множеств $A$ и $S$: $A \cap S = [-1, 1] \cap [-1, 9] = [-1, 1]$.

Длина этого множества (благоприятных исходов) равна $L(A \cap S) = 1 - (-1) = 2$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(A \cap S)}{L(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $|x| \ge 2$

Решениями неравенства $|x| \ge 2$ является объединение двух промежутков: $B = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Найдем пересечение множества $B$ с основным множеством $S$: $B \cap S = ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-1, 9] = [2, 9]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(B \cap S) = 9 - 2 = 7$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(B \cap S)}{L(S)} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.

в) $4 \le |x| \le 5$

Двойное неравенство $4 \le |x| \le 5$ равносильно объединению двух отрезков: $C = [-5, -4] \cup [4, 5]$.

Найдем пересечение множества $C$ с основным множеством $S$: $C \cap S = ([-5, -4] \cup [4, 5]) \cap [-1, 9] = [4, 5]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(C \cap S) = 5 - 4 = 1$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(C \cap S)}{L(S)} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

г) $|x + 4| \le 5$

Неравенство $|x + 4| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le x + 4 \le 5$. Вычитая 4 из всех частей, получаем $-9 \le x \le 1$. Множество решений — $D = [-9, 1]$.

Найдем пересечение множества $D$ с основным множеством $S$: $D \cap S = [-9, 1] \cap [-1, 9] = [-1, 1]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(D \cap S) = 1 - (-1) = 2$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(D \cap S)}{L(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

20.22 В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен 6, а катет $BC$ равен 8. Из вершины $C$ провели высоту $CH$ и медиану $CM$. В треугольнике случайно отмечают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:

а) в треугольнике $ACM$;

б) в треугольнике $ACH$;

в) в треугольнике $CHM$;

г) внутри окружности, вписанной в треугольник $ABC$?

Вероятность попадания случайно выбранной точки в некоторую область внутри треугольника равна отношению площади этой области к площади всего треугольника. Обозначим искомую вероятность как $P$. Тогда $P = \frac{S_{области}}{S_{ABC}}$.

Сначала найдем основные параметры исходного прямоугольного треугольника $ABC$. Дано: катет $AC = 6$, катет $BC = 8$. Угол $\angle C = 90^\circ$.

1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $AB = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдем площадь треугольника $ABC$, которая будет служить "пространством всех элементарных исходов": $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

а) в треугольнике ACM;

$CM$ — это медиана, проведенная из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Свойство медианы заключается в том, что она делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих), так как у них общее основание $AB$ делится пополам ($AM = MB$), а высота, опущенная из вершины $C$, у них общая. Следовательно, площадь треугольника $ACM$ составляет ровно половину площади треугольника $ABC$. $S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$. Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $ACM$, равна: $P = \frac{S_{ACM}}{S_{ABC}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) в треугольнике ACH;

$CH$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Высота делит прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному. Таким образом, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$. Вероятность попадания точки в $\triangle ACH$ равна отношению их площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон (в данном случае, гипотенуз): $k = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Следовательно, искомая вероятность равна: $P = \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$.

Ответ: $\frac{9}{25}$

в) в треугольнике CHM;

Для нахождения площади треугольника $CHM$ воспользуемся формулой $S_{CHM} = \frac{1}{2} \cdot HM \cdot CH$. Для этого нам нужно найти длины высоты $CH$ и отрезка $HM$ на гипотенузе.

1. Высоту $CH$ найдем, выразив площадь треугольника $ABC$ через гипотенузу $AB$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{24 \cdot 2}{10} = 4.8$.

2. Отрезок $HM$ — это расстояние между основанием высоты $H$ и основанием медианы $M$. $M$ — середина гипотенузы, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3. Длину отрезка $AH$ (проекции катета $AC$ на гипотенузу) найдем из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике: $AC^2 = AH \cdot AB$. $6^2 = AH \cdot 10 \Rightarrow 36 = 10 \cdot AH \Rightarrow AH = 3.6$.

4. Зная, что точка $H$ лежит между $A$ и $M$ (так как $AH=3.6 < AM=5$), найдем длину $HM$: $HM = AM - AH = 5 - 3.6 = 1.4$.

5. Теперь вычислим площадь треугольника $CHM$: $S_{CHM} = \frac{1}{2} \cdot HM \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 1.4 \cdot 4.8 = 0.7 \cdot 4.8 = 3.36$.

6. Вероятность попадания точки в треугольник $CHM$ равна: $P = \frac{S_{CHM}}{S_{ABC}} = \frac{3.36}{24} = 0.14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$.

Ответ: $\frac{7}{50}$

г) внутри окружности, вписанной в треугольник ABC?

Вероятность равна отношению площади вписанной окружности к площади треугольника. Площадь окружности вычисляется по формуле $S_{окр} = \pi r^2$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. $r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Теперь найдем площадь вписанной окружности: $S_{окр} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Искомая вероятность равна: $P = \frac{S_{окр}}{S_{ABC}} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

21.1 а) Сколько чисел, кратных четырём, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, кратных четырём, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, кратных четырём, среди первых $n$ натуральных чисел.

г) К какому числу приближается частота с увеличением $n$?

а)

Чтобы найти количество чисел, кратных четырём, среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17), нужно перечислить все числа из этого диапазона, которые делятся на 4 без остатка. Такими числами являются: 4, 8, 12, 16. Всего таких чисел 4.

Альтернативный способ — использовать операцию целочисленного деления. Количество чисел, кратных $k$, среди первых $n$ натуральных чисел, равно целой части от деления $n$ на $k$. В данном случае:

$K = \lfloor \frac{17}{4} \rfloor = \lfloor 4.25 \rfloor = 4$

Ответ: 4.

б)

Частота события — это отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех возможных исходов. В этой задаче событие — это выбор числа, кратного четырём.

• Количество благоприятствующих исходов (чисел, кратных 4) равно 4 (из пункта а).
• Общее число исходов (всех натуральных чисел) равно 17.

Следовательно, искомая частота равна отношению этих двух величин:

Частота = $\frac{\text{Количество чисел, кратных 4}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{4}{17}$

Ответ: $\frac{4}{17}$.

в)

Для заполнения таблицы для каждого значения $n$ нужно вычислить две величины:

1. Количество чисел, кратных 4, среди чисел от 1 до $n$: Эта величина вычисляется по формуле $K(n) = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.
2. Частота: Эта величина вычисляется как отношение количества $K(n)$ к общему числу $n$, то есть по формуле $F(n) = \frac{K(n)}{n}$.

Ниже представлена заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

г)

Частота появления чисел, кратных четырём, среди первых $n$ натуральных чисел, задается функцией $F(n) = \frac{\lfloor n/4 \rfloor}{n}$. Чтобы определить, к какому числу приближается частота с увеличением $n$, нужно найти предел этой функции при $n \to \infty$.

Воспользуемся свойством целой части числа: $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.

Подставим $x = n/4$:

$\frac{n}{4} - 1 < \lfloor \frac{n}{4} \rfloor \le \frac{n}{4}$

Теперь разделим все части этого двойного неравенства на $n$ (так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, знак неравенства не меняется):

$\frac{\frac{n}{4} - 1}{n} < \frac{\lfloor \frac{n}{4} \rfloor}{n} \le \frac{\frac{n}{4}}{n}$

Упростим левую и правую части:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{n} < F(n) \le \frac{1}{4}$

Теперь найдём пределы левой и правой частей неравенства при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Так как функция $F(n)$ "зажата" между двумя выражениями, которые стремятся к одному и тому же числу $\frac{1}{4}$, то по теореме о сжатии (также известной как теорема о двух милиционерах), предел самой функции $F(n)$ также равен этому числу.

$\lim_{n \to \infty} F(n) = \frac{1}{4}$

Таким образом, с увеличением $n$ частота приближается к числу $\frac{1}{4}$ или $0.25$. Это можно заметить и по таблице из пункта в): для больших $n$ значения частоты становятся очень близки к $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ (или $0.25$).