Страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Словесный способ задания функций. Функции $y = [x]$, $y = \{x\}$.

Словесный способ задания функций

Словесный способ задания функции — это способ, при котором правило, устанавливающее зависимость между переменными, описывается словами, а не аналитической формулой, таблицей или графиком. Этот способ часто используется для функций, которые сложно или громоздко выразить формулой, или для введения новых математических понятий. При этом каждому значению независимой переменной $x$ из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

Пример 1: Функция Дирихле. «Значение функции равно 1, если аргумент $x$ является рациональным числом, и 0, если аргумент $x$ является иррациональным числом».

Пример 2: «Каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие сумма его цифр после запятой в десятичной записи». Эта функция четко определена, но для нее нет простой аналитической формулы.

Словесное описание лежит в основе определения многих стандартных функций, которые затем получают свое аналитическое обозначение, как, например, функции «целая часть» и «дробная часть».

Ответ: Словесный способ задания функции — это определение функциональной зависимости с помощью словесного описания правила, по которому для каждого значения аргумента находится соответствующее значение функции.

Функции $y = [x]$, $y = \{x\}$

Эти две функции являются классическими примерами функций, которые удобно вводить с помощью словесного описания.

1. Функция $y = [x]$ (целая часть числа, или "антье")

Словесное определение: функция $y = [x]$ ставит в соответствие каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.

Например:

• $[3.14] = 3$, так как 3 — это наибольшее целое число, которое меньше или равно 3.14.
• $[5] = 5$, так как 5 — целое число, и оно не превосходит само себя.
• $[-2.7] = -3$, так как среди всех целых чисел, меньших или равных -2.7 (..., -5, -4, -3), наибольшим является -3.
• $[-1] = -1$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений — множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \{x\}$ (дробная часть числа)

Словесное определение: функция $y = \{x\}$ ставит в соответствие каждому действительному числу $x$ разность между этим числом и его целой частью.

Аналитически это записывается так: $\{x\} = x - [x]$.

Например:

• $\{3.14\} = 3.14 - [3.14] = 3.14 - 3 = 0.14$.
• $\{5\} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0$.
• $\{-2.7\} = -2.7 - [-2.7] = -2.7 - (-3) = 0.3$.

Дробная часть числа всегда неотрицательна.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений — полуинтервал $[0; 1)$, так как $0 \le \{x\} < 1$.

Ответ: $y = [x]$ (целая часть числа) — это функция, возвращающая наибольшее целое число, не превосходящее $x$. $y = \{x\}$ (дробная часть числа) — это функция, определяемая как разность $x - [x]$, значение которой всегда находится в полуинтервале $[0; 1)$.

2. Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля.

Построение графиков функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля, как правило, осуществляется с помощью геометрических преобразований графика исходной функции или путем раскрытия модуля на промежутках. Модуль числа $a$ определяется как $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Рассмотрим основные случаи.

Построение графика функции $y = |f(x)|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ следует сначала построить график функции $y = f(x)$. По определению модуля, если $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$, а если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$. Это означает, что все точки графика $y = f(x)$, имеющие неотрицательные ординаты ($y \ge 0$), остаются на своем месте. Все точки графика, имеющие отрицательные ординаты ($y < 0$), заменяются на точки с противоположными, то есть положительными, ординатами. Геометрически это соответствует симметричному отражению относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.

2. Часть графика, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$), оставить без изменений.

3. Часть графика, расположенную в нижней полуплоскости (где $y < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 4|$.

1. Строим график базовой функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -4)$, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$.

2. Часть параболы, где $y \ge 0$ (при $x \le -2$ и $x \ge 2$), остается без изменений.

3. Часть параболы, где $y < 0$ (при $-2 < x < 2$), находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно построить график $y=f(x)$ и часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси, а остальную часть графика оставить без изменений.

Построение графика функции $y = f(|x|)$

Функция вида $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Для построения такого графика достаточно построить его для неотрицательных значений аргумента ($x \ge 0$) и затем отразить полученную часть симметрично относительно оси Oy.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. (Для этого можно построить весь график $y=f(x)$ и стереть его часть, находящуюся в левой полуплоскости).

2. Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Пример: Построить график функции $y = x^2 - 3|x| - 4$.

1. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x - 4$. Строим график этой параболы для $x \ge 0$. Вершина параболы находится в точке $x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$. Ордината вершины: $y = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$ и ось Ox в точке $x=4$ (корень $x=-1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$).

2. Мы построили правую часть искомого графика. Теперь отражаем ее симметрично относительно оси Oy и получаем левую часть. Вершина $(1.5, -6.25)$ отразится в точку $(-1.5, -6.25)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, нужно построить график $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

Общий метод (метод интервалов)

Этот метод является универсальным и подходит для функций с любым количеством и расположением модулей, например, $y = |x - 2| + |x + 1|$. Суть метода заключается в том, чтобы разбить область определения функции на интервалы, на каждом из которых выражения под знаками модуля сохраняют свой знак. Затем на каждом интервале модуль раскрывается, и функция принимает вид обычной функции без модуля.

Алгоритм построения:

1. Найти нули всех выражений, стоящих под знаком модуля. Для этого нужно каждое подмодульное выражение приравнять к нулю и решить полученные уравнения.

2. Отметить найденные точки на числовой оси. Они разобьют ось на несколько промежутков.

3. Определить знак каждого подмодульного выражения на каждом из полученных промежутков.

4. На каждом промежутке раскрыть модули в соответствии со знаками и записать получившуюся функцию. В итоге получится кусочно-заданная функция.

5. Построить график этой кусочно-заданной функции, то есть на каждом промежутке строить соответствующий ему "кусок" графика.

Пример: Построить график функции $y = |x - 2| - |x + 3|$.

1. Нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$; $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

2. Точки $x = -3$ и $x = 2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$, $[2, \infty)$.

3-4. Раскрываем модули на каждом промежутке:
• Если $x < -3$: оба выражения отрицательны. $y = -(x - 2) - (-(x + 3)) = -x + 2 + x + 3 = 5$.
• Если $-3 \le x < 2$: выражение $x-2$ отрицательно, а $x+3$ положительно. $y = -(x - 2) - (x + 3) = -x + 2 - x - 3 = -2x - 1$.
• Если $x \ge 2$: оба выражения положительны. $y = (x - 2) - (x + 3) = x - 2 - x - 3 = -5$.

5. Строим график кусочной функции: $y = \begin{cases} 5, & \text{если } x < -3 \\ -2x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ -5, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$
График будет состоять из горизонтального луча $y=5$ для $x<-3$, отрезка прямой $y=-2x-1$ от $x=-3$ до $x=2$ (соединяющего точки $(-3, 5)$ и $(2, -5)$), и горизонтального луча $y=-5$ для $x \ge 2$.

Ответ: Общий метод заключается в разбиении области определения на промежутки, на каждом из которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак. Затем на каждом промежутке модули раскрываются, и строится график соответствующей функции без модуля.

3. Функционально-графические методы решения уравнений.

Функционально-графический метод является одним из способов решения уравнений, особенно тех, которые сложно или невозможно решить аналитически. Он основан на использовании свойств функций и их графиков.

Суть метода

Основная идея метода заключается в следующем: чтобы решить уравнение вида $f(x) = g(x)$, нужно построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться корнями исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Частным случаем является решение уравнения вида $h(x) = 0$. В этом случае строится график функции $y = h(x)$, а корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этого графика с осью абсцисс (осью $Ox$), так как ось $Ox$ задается уравнением $y = 0$.

Алгоритм применения метода

1. Привести исходное уравнение к виду $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — функции, графики которых легко построить.
2. Ввести две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. Построить графики этих функций в одной прямоугольной системе координат.
4. Найти точки пересечения графиков.
5. Определить абсциссы ($x$) этих точек. Полученные значения и будут корнями уравнения.
6. Если точное значение корня по графику определить сложно, можно найти его приближенное значение. Если предполагается целый или рациональный корень, рекомендуется выполнить проверку, подставив его в исходное уравнение.

Пример 1: Решить уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$

Решение:
1. Уравнение уже представлено в виде $f(x) = g(x)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = 2 - x$.
2. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.
- $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения $x \ge 0$. - $y = 2 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например: если $x=0$, то $y=2$; если $x=2$, то $y=0$. Проведем прямую через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
3. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке.

4. Абсцисса точки пересечения, судя по графику, равна 1.
5. Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2 - 1$ $1 = 1$ Равенство верное, значит, $x=1$ является корнем уравнения.
Ответ: $x=1$

Пример 2: Решить уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$

Решение:
1. Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$. Перенесем члены $3x - 2$ в правую часть: $x^3 = 3x - 2$.
2. Рассмотрим две функции: $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 3x - 2$ (прямая линия).
3. Построим их графики в одной системе координат.
- $y = x^3$ проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. - $y = 3x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(1, 1)$.
4. Из графика видно, что прямая касается кубической параболы в точке с абсциссой $x=1$ и пересекает ее в точке с абсциссой $x=-2$.

5. Проверим найденные корни подстановкой в исходное уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$.
- Для $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Верно. - Для $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Верно.
Таким образом, уравнение имеет два различных корня. (Касание графика означает наличие кратного корня, что можно проверить алгебраически: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$).
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуально представить решение и понять поведение функций.
• Определение количества корней: даже если точное значение корней найти трудно, графический метод позволяет определить их количество.
• Универсальность: метод применим для решения уравнений, содержащих функции разных типов (алгебраические, тригонометрические, логарифмические и т.д.), например, $x = \cos(x)$.

Недостатки:

• Неточность: как правило, метод дает приближенные значения корней. Точность зависит от аккуратности построения и масштаба графика.
• Трудоемкость: построение точных графиков сложных функций может быть затруднительным без использования специальных программных средств.
• Риск потери корней: можно не заметить точки пересечения, если они находятся далеко от начала координат или если графики пересекаются под очень малым углом.

5 В плитке шоколада размером $3\times6$ случайно выбрали дольку $1\times1$. Какова вероятность того, что выбрали крайнюю, но не угловую дольку?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P = \frac{M}{N}$.

1. Находим общее число исходов (N).
Плитка шоколада имеет размер $3 \times 6$. Это означает, что она состоит из 3 рядов по 6 долек в каждом. Общее количество долек равно произведению её размеров:
$N = 3 \times 6 = 18$.
Таким образом, существует 18 равновозможных способов выбрать одну дольку.

2. Находим число благоприятных исходов (M).
Нам нужно найти количество долек, которые являются "крайними, но не угловыми".
Крайние дольки — это все дольки, расположенные по периметру плитки. Угловые дольки — это 4 дольки, находящиеся в углах.
Давайте посчитаем количество нужных нам долек.
Плитка имеет две длинные стороны по 6 долек и две короткие стороны по 3 дольки.

• На каждой из двух длинных сторон (верхней и нижней) есть 6 долек. Если исключить 2 угловые дольки, останется по $6 - 2 = 4$ дольки. Всего на двух длинных сторонах: $2 \times 4 = 8$ долек.
• На каждой из двух коротких сторон (левой и правой) есть 3 дольки. Если исключить 2 угловые дольки, останется по $3 - 2 = 1$ дольке. Всего на двух коротких сторонах: $2 \times 1 = 2$ дольки.

Суммируем количество этих долек, чтобы найти общее число благоприятных исходов:
$M = 8 + 2 = 10$.

3. Вычисляем вероятность.
Теперь, зная $N=18$ и $M=10$, мы можем рассчитать вероятность:
$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{18}$.
Сокращаем полученную дробь на 2:
$P = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

6 Сгруппируйте ряд данных и найдите процент данных, отличающихся от моды ряда более чем на 4:

10, 5, 10, 0, 3, 5, 4, 5, 5, 9, 4, 6, 0, 4, 3, 1, 10, 5, 4, 1.

Сгруппируйте ряд данных
Исходный ряд данных: 10, 5, 10, 0, 3, 5, 4, 5, 5, 9, 4, 6, 0, 4, 3, 1, 10, 5, 4, 1.
Общее количество элементов в ряду — 20.
Чтобы сгруппировать данные, подсчитаем частоту появления каждого уникального числа:
- Число 0 встречается 2 раза.
- Число 1 встречается 2 раза.
- Число 3 встречается 2 раза.
- Число 4 встречается 4 раза.
- Число 5 встречается 5 раз.
- Число 6 встречается 1 раз.
- Число 9 встречается 1 раз.
- Число 10 встречается 3 раза.

Найдите процент данных, отличающихся от моды ряда более чем на 4
1. Сначала необходимо найти моду ряда. Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. Исходя из сгруппированных данных, модой является число 5, так как оно встречается 5 раз, что чаще любого другого числа.

2. Теперь найдем данные, которые отличаются от моды (равной 5) более чем на 4. Это значит, мы ищем числа $x$ из ряда, для которых выполняется математическое условие $|x - 5| > 4$.

3. Данное неравенство с модулем эквивалентно двум неравенствам:
а) $x - 5 > 4$, что дает $x > 9$.
б) $x - 5 < -4$, что дает $x < 1$.
Следовательно, нам нужно найти все числа в ряду, которые строго больше 9 или строго меньше 1.

4. Просмотрим исходный ряд и выберем подходящие числа:
- Числа, которые меньше 1: 0, 0 (всего 2 числа).
- Числа, которые больше 9: 10, 10, 10 (всего 3 числа).
Общее количество таких чисел равно $2 + 3 = 5$.

5. Наконец, вычислим процент этих данных от общего количества чисел в ряду. Всего в ряду 20 чисел, из них 5 удовлетворяют нашему условию.
Процент рассчитывается по формуле:
$\frac{\text{количество подходящих данных}}{\text{общее количество данных}} \times 100\% = \frac{5}{20} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: 25%

7 Среднее арифметическое десяти последовательных результатов измерения равно 26,5. Найдите последний результат, если известно, что результаты образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной -3.

Пусть десять последовательных результатов измерений являются членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$.По условию задачи нам известны следующие данные:

- Количество результатов (членов прогрессии): $n = 10$.

- Среднее арифметическое этих результатов: $M = 26,5$.

- Разность арифметической прогрессии: $d = -3$.

Нам необходимо найти последний результат, то есть десятый член прогрессии $a_{10}$.

Среднее арифметическое конечной арифметической прогрессии равно полусумме ее первого и последнего членов. Запишем это в виде формулы:$M = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Подставим известные значения для нашей задачи ($n=10$):$26,5 = \frac{a_1 + a_{10}}{2}$

Из этого уравнения мы можем найти сумму первого и последнего членов прогрессии:$a_1 + a_{10} = 26,5 \times 2 = 53$

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии, чтобы связать $a_1$ и $a_{10}$:$a_n = a_1 + (n-1)d$

Для $a_{10}$ формула будет выглядеть так:$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим известное значение разности $d = -3$:$a_{10} = a_1 + 9 \times (-3) = a_1 - 27$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $a_{10}$:

1) $a_1 + a_{10} = 53$

2) $a_{10} = a_1 - 27$

Из второго уравнения выразим $a_1$:$a_1 = a_{10} + 27$

Подставим это выражение в первое уравнение:$(a_{10} + 27) + a_{10} = 53$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a_{10}$:$2a_{10} + 27 = 53$$2a_{10} = 53 - 27$$2a_{10} = 26$$a_{10} = \frac{26}{2}$$a_{10} = 13$

Таким образом, последний результат измерения равен 13.

Ответ: 13

1 В кошельке лежит много монет по 1 р., по 2 р. и по 5 р. Случайным образом поочерёдно достают три монеты. Перечислите варианты, при которых сумма будет больше 9 р.

Для решения этой задачи нужно найти все комбинации из трех монет номиналом 1, 2 или 5 рублей, чтобы их общая сумма была строго больше 9 рублей.

Обозначим номиналы трех извлеченных монет как $C_1, C_2, C_3$. Каждый из этих номиналов может быть равен 1, 2 или 5. Условие задачи можно записать в виде неравенства: $C_1 + C_2 + C_3 > 9$.

Чтобы найти все подходящие варианты, будем перебирать комбинации, начиная с тех, что содержат монеты наибольшего номинала (5 рублей), так как это самый быстрый способ получить большую сумму.

1. Если все три монеты имеют номинал 5 рублей, их сумма составит $5 + 5 + 5 = 15$ рублей. Поскольку $15 > 9$, эта комбинация (5, 5, 5) является решением.

2. Если две монеты имеют номинал 5 рублей, их сумма уже равна $5 + 5 = 10$ рублей. Третья монета может быть номиналом 1 или 2 рубля (случай с третьей монетой в 5 рублей уже рассмотрен).
- Если третья монета — 2 рубля, общая сумма будет $5 + 5 + 2 = 12$ рублей. Так как $12 > 9$, комбинация (5, 5, 2) является решением.
- Если третья монета — 1 рубль, общая сумма будет $5 + 5 + 1 = 11$ рублей. Так как $11 > 9$, комбинация (5, 5, 1) также является решением.

3. Если только одна монета имеет номинал 5 рублей, то для получения максимальной суммы две другие монеты должны быть наибольшего из оставшихся номиналов, то есть по 2 рубля. Сумма такой комбинации равна $5 + 2 + 2 = 9$ рублей. Это значение не строго больше 9, поэтому данный вариант не подходит. Любая другая комбинация с одной 5-рублевой монетой даст еще меньшую сумму.

4. Если в наборе нет монет по 5 рублей, то максимальная возможная сумма достигается при выборе трех монет по 2 рубля: $2 + 2 + 2 = 6$ рублей. Эта сумма меньше 9, поэтому никакие комбинации без 5-рублевых монет не удовлетворяют условию.

Таким образом, мы нашли все возможные наборы монет, сумма которых превышает 9 рублей.

Ответ: Существуют 3 варианта наборов монет, при которых сумма будет больше 9 рублей:
1. Три монеты по 5 рублей (сумма 15 р.).
2. Две монеты по 5 рублей и одна монета по 2 рубля (сумма 12 р.).
3. Две монеты по 5 рублей и одна монета по 1 рублю (сумма 11 р.).

2 В меню 5 видов пирожков и 6 видов напитков. Сколькими способами можно выбрать на завтрак пирожок и напиток, если известно, что один из видов пирожков плохо сочетается с двумя видами напитков?

Решение:

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом исключения. Сначала найдем общее количество всех возможных комбинаций "пирожок + напиток", а затем вычтем из него те комбинации, которые невозможны по условию.

1. Найдем общее количество способов выбрать один пирожок из 5 и один напиток из 6, если бы не было никаких ограничений. По правилу умножения в комбинаторике, общее число комбинаций равно произведению числа видов пирожков на число видов напитков:

$N_{общ} = 5 \times 6 = 30$

Таким образом, всего существует 30 возможных пар "пирожок + напиток".

2. Теперь определим количество "плохих", то есть нежелательных, сочетаний. В условии сказано, что один конкретный вид пирожков (1) плохо сочетается с двумя конкретными видами напитков (2). Количество таких нежелательных комбинаций равно:

$N_{плохих} = 1 \times 2 = 2$

3. Чтобы найти количество допустимых способов, нужно из общего числа комбинаций вычесть количество нежелательных:

$N = N_{общ} - N_{плохих} = 30 - 2 = 28$

Следовательно, существует 28 способов выбрать завтрак, удовлетворяющий условиям.

Ответ: 28.

3 Бросили две разноцветные игральные кости. В скольких случаях выпавшие очки будут отличаться более чем на 3?

Пусть $x$ — это количество очков, выпавшее на первой игральной кости, а $y$ — количество очков на второй. Поскольку кости разноцветные, они различимы, и порядок выпадения очков имеет значение. Это означает, что исход $(x, y)$ (например, 1 на первой кости и 5 на второй) и исход $(y, x)$ (5 на первой и 1 на второй) являются разными случаями. Каждая кость может показать число от 1 до 6, поэтому общее количество возможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Условие задачи состоит в том, чтобы найти количество случаев, когда выпавшие очки отличаются "более чем на 3". Это можно выразить математическим неравенством: $|x - y| > 3$.

Неравенство $|x - y| > 3$ означает, что разность по модулю между значениями на костях должна быть строго больше 3. Возможные значения для такой разности в данном эксперименте — это 4 и 5. Максимально возможная разница составляет $6 - 1 = 5$.

Систематически перечислим все пары $(x, y)$, удовлетворяющие этому условию, разбив их на два случая.

Случай 1: разница равна 4
Это пары, для которых $|x - y| = 4$. Такими парами являются:
(1, 5) и (5, 1)
(2, 6) и (6, 2)
Всего получаем 4 таких исхода.

Случай 2: разница равна 5
Это пары, для которых $|x - y| = 5$. Такими парами являются:
(1, 6) и (6, 1)
Всего получаем 2 таких исхода.

Чтобы найти общее количество искомых случаев, нужно сложить количество исходов из обоих случаев: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

4 Какова вероятность того, что случайным образом выбранное двухзначное число будет делиться на 13?

Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – это общее количество всех возможных исходов, а $m$ – количество благоприятных исходов.

Сначала определим общее количество двузначных чисел. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99. Чтобы найти их общее количество, вычтем из большего числа меньшее и прибавим единицу: $N = 99 - 10 + 1 = 90$. Итак, всего существует 90 двузначных чисел.

Далее найдем количество благоприятных исходов, то есть количество двузначных чисел, которые делятся на 13 без остатка. Для этого перечислим все числа, кратные 13, которые находятся в диапазоне от 10 до 99:
$13 \cdot 1 = 13$
$13 \cdot 2 = 26$
$13 \cdot 3 = 39$
$13 \cdot 4 = 52$
$13 \cdot 5 = 65$
$13 \cdot 6 = 78$
$13 \cdot 7 = 91$
Следующее число, $13 \cdot 8 = 104$, уже является трехзначным и не подходит под условие. Таким образом, количество благоприятных исходов $m = 7$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:$P = \frac{m}{N} = \frac{7}{90}$.

Ответ: $\frac{7}{90}$

5 В плитке шоколада размером $4\times5$ случайно выбрали дольку $1\times1$.

Какова вероятность того, что выбрали не крайнюю дольку?

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо найти общее количество долек в плитке шоколада (общее число исходов) и количество долек, которые не являются крайними (число благоприятных исходов).

1. Найдём общее количество долек.
Плитка шоколада имеет размер 4×5, следовательно, общее количество долек $N$ в ней равно произведению её сторон:
$N = 4 \times 5 = 20$.

2. Найдём количество не крайних долек.
Крайними считаются дольки, расположенные по периметру плитки. Дольки, которые не являются крайними, образуют внутренний прямоугольник. Чтобы определить размеры этого внутреннего прямоугольника, нужно от каждого размера исходной плитки отнять по 2 дольки (по одной с каждого края).
Размеры внутреннего прямоугольника: $(4-2) \times (5-2)$, что равно $2 \times 3$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m$ (количество не крайних долек) равно:
$m = 2 \times 3 = 6$.

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ события "выбрали не крайнюю дольку" находится по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{20}$.

Сократим полученную дробь и представим её в виде десятичного числа:
$P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3

6 Сгруппируйте ряд данных и найдите процент данных, отличающихся от моды ряда на 1:

10, 9, 10, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9, 6, 8, 4, 3, 1, 6, 3, 4, 1.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Группировка ряда данных и нахождение моды

Исходный ряд данных: 10, 9, 10, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9, 6, 8, 4, 3, 1, 6, 3, 4, 1.
Сначала сгруппируем данные, подсчитав, сколько раз каждое число встречается в ряду. Общее количество элементов в ряду — 19.

Составим частотную таблицу:

• Число 1: 2 раза
• Число 2: 1 раз
• Число 3: 3 раза
• Число 4: 4 раза
• Число 5: 1 раз
• Число 6: 3 раза
• Число 8: 1 раз
• Число 9: 2 раза
• Число 10: 2 раза

Мода ряда — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. Из таблицы видно, что число 4 встречается 4 раза, что чаще любого другого числа. Таким образом, мода данного ряда равна 4.

2. Нахождение данных, отличающихся от моды на 1

Мода ряда равна 4. Нам нужно найти значения, которые отличаются от моды на 1. Это числа, равные $4 - 1 = 3$ и $4 + 1 = 5$.

Теперь посчитаем, сколько раз эти числа встречаются в нашем ряду:

• Число 3 встречается 3 раза.
• Число 5 встречается 1 раз.

Общее количество данных, отличающихся от моды на 1, равно сумме их частот: $3 + 1 = 4$.

3. Вычисление процента

Мы нашли, что 4 элемента ряда отличаются от моды на 1. Общее количество элементов в ряду — 19. Чтобы найти процент, нужно количество интересующих нас данных разделить на общее количество данных и умножить на 100%.

Формула для расчета процента:

$ \text{Процент} = \frac{\text{Количество данных, отличающихся от моды на 1}}{\text{Общее количество данных}} \times 100\% $

Подставляем наши значения:

$ \text{Процент} = \frac{4}{19} \times 100\% $

Выполняем вычисление:

$ \frac{4}{19} \approx 0.210526... $

$ 0.210526... \times 100\% \approx 21.05\% $ (округляя до сотых)

Ответ: Процент данных, отличающихся от моды ряда на 1, составляет примерно 21.05%.

7 Среднее арифметическое десяти последовательных результатов измерения равно $-2$. Найдите восьмой по счёту результат, если известно, что результаты образуют арифметическую прогрессию с разностью $2$.

Обозначим десять последовательных результатов измерений как члены арифметической прогрессии $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$.

Согласно условию задачи, нам даны: количество членов прогрессии $n = 10$, их среднее арифметическое $M = -2$, и разность прогрессии $d = 2$. Требуется найти восьмой член прогрессии, $a_8$.

Среднее арифметическое $n$ чисел определяется как их сумма, делённая на их количество. Для арифметической прогрессии это записывается как $M = \frac{S_n}{n}$, где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов.

Используя эту формулу, найдём сумму десяти результатов измерений ($S_{10}$): $S_{10} = M \times n = -2 \times 10 = -20$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии.

Подставим известные значения ($S_{10}=-20$, $n=10$, $d=2$) в эту формулу, чтобы определить первый член прогрессии $a_1$: $-20 = \frac{2a_1 + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10$.

Упростим полученное уравнение. Сначала разделим обе его части на 10: $-2 = \frac{2a_1 + 9 \cdot 2}{2}$ $-2 = \frac{2a_1 + 18}{2}$.

Далее, умножим обе части на 2: $-4 = 2a_1 + 18$.

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a_1$: $2a_1 = -4 - 18$ $2a_1 = -22$ $a_1 = -11$.

Зная первый член прогрессии, мы можем найти любой другой её член по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдём восьмой член прогрессии ($a_8$), подставив $n=8$: $a_8 = a_1 + (8-1)d$ $a_8 = -11 + 7 \cdot 2$ $a_8 = -11 + 14$ $a_8 = 3$.

Ответ: 3