Номер 2, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Графики функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля.

Построение графиков функций, аналитическое задание которых содержит знаки модуля, как правило, осуществляется с помощью геометрических преобразований графика исходной функции или путем раскрытия модуля на промежутках. Модуль числа $a$ определяется как $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Рассмотрим основные случаи.

Построение графика функции $y = |f(x)|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ следует сначала построить график функции $y = f(x)$. По определению модуля, если $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$, а если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$. Это означает, что все точки графика $y = f(x)$, имеющие неотрицательные ординаты ($y \ge 0$), остаются на своем месте. Все точки графика, имеющие отрицательные ординаты ($y < 0$), заменяются на точки с противоположными, то есть положительными, ординатами. Геометрически это соответствует симметричному отражению относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$.

2. Часть графика, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$), оставить без изменений.

3. Часть графика, расположенную в нижней полуплоскости (где $y < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 4|$.

1. Строим график базовой функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с вершиной в точке $(0, -4)$, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$.

2. Часть параболы, где $y \ge 0$ (при $x \le -2$ и $x \ge 2$), остается без изменений.

3. Часть параболы, где $y < 0$ (при $-2 < x < 2$), находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно построить график $y=f(x)$ и часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси, а остальную часть графика оставить без изменений.

Построение графика функции $y = f(|x|)$

Функция вида $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Для построения такого графика достаточно построить его для неотрицательных значений аргумента ($x \ge 0$) и затем отразить полученную часть симметрично относительно оси Oy.

Алгоритм построения:

1. Построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. (Для этого можно построить весь график $y=f(x)$ и стереть его часть, находящуюся в левой полуплоскости).

2. Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Пример: Построить график функции $y = x^2 - 3|x| - 4$.

1. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x - 4$. Строим график этой параболы для $x \ge 0$. Вершина параболы находится в точке $x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$. Ордината вершины: $y = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$ и ось Ox в точке $x=4$ (корень $x=-1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$).

2. Мы построили правую часть искомого графика. Теперь отражаем ее симметрично относительно оси Oy и получаем левую часть. Вершина $(1.5, -6.25)$ отразится в точку $(-1.5, -6.25)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, нужно построить график $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

Общий метод (метод интервалов)

Этот метод является универсальным и подходит для функций с любым количеством и расположением модулей, например, $y = |x - 2| + |x + 1|$. Суть метода заключается в том, чтобы разбить область определения функции на интервалы, на каждом из которых выражения под знаками модуля сохраняют свой знак. Затем на каждом интервале модуль раскрывается, и функция принимает вид обычной функции без модуля.

Алгоритм построения:

1. Найти нули всех выражений, стоящих под знаком модуля. Для этого нужно каждое подмодульное выражение приравнять к нулю и решить полученные уравнения.

2. Отметить найденные точки на числовой оси. Они разобьют ось на несколько промежутков.

3. Определить знак каждого подмодульного выражения на каждом из полученных промежутков.

4. На каждом промежутке раскрыть модули в соответствии со знаками и записать получившуюся функцию. В итоге получится кусочно-заданная функция.

5. Построить график этой кусочно-заданной функции, то есть на каждом промежутке строить соответствующий ему "кусок" графика.

Пример: Построить график функции $y = |x - 2| - |x + 3|$.

1. Нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$; $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

2. Точки $x = -3$ и $x = 2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$, $[2, \infty)$.

3-4. Раскрываем модули на каждом промежутке:
• Если $x < -3$: оба выражения отрицательны. $y = -(x - 2) - (-(x + 3)) = -x + 2 + x + 3 = 5$.
• Если $-3 \le x < 2$: выражение $x-2$ отрицательно, а $x+3$ положительно. $y = -(x - 2) - (x + 3) = -x + 2 - x - 3 = -2x - 1$.
• Если $x \ge 2$: оба выражения положительны. $y = (x - 2) - (x + 3) = x - 2 - x - 3 = -5$.

5. Строим график кусочной функции: $y = \begin{cases} 5, & \text{если } x < -3 \\ -2x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ -5, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$
График будет состоять из горизонтального луча $y=5$ для $x<-3$, отрезка прямой $y=-2x-1$ от $x=-3$ до $x=2$ (соединяющего точки $(-3, 5)$ и $(2, -5)$), и горизонтального луча $y=-5$ для $x \ge 2$.

Ответ: Общий метод заключается в разбиении области определения на промежутки, на каждом из которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак. Затем на каждом промежутке модули раскрываются, и строится график соответствующей функции без модуля.