Номер 2, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что значит задать последовательность аналитически? Приведите примеры аналитически заданных последовательностей.

Что значит задать последовательность аналитически?

Задать последовательность аналитически — это значит указать формулу для ее $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$. Такая формула выражает член последовательности $a_n$ как функцию от его номера $n$, то есть $a_n = f(n)$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Основное преимущество аналитического способа задания последовательности заключается в том, что он дает возможность найти любой член последовательности, даже с очень большим номером, прямым вычислением, не находя при этом все предыдущие члены. Например, чтобы найти сотый член последовательности $a_n = n^2 + 1$, достаточно подставить $n=100$ в формулу: $a_{100} = 100^2 + 1 = 10001$. Это отличает аналитический способ от рекуррентного, где для нахождения $a_n$ требуется знать один или несколько предыдущих членов (например, $a_{n-1}$ или $a_{n-2}$).

Ответ: Задать последовательность аналитически — это указать формулу $n$-го члена $a_n = f(n)$, которая позволяет найти любой член последовательности по его порядковому номеру $n$.

Приведите примеры аналитически заданных последовательностей.

• Последовательность четных натуральных чисел. Она задается формулой $a_n = 2n$.
  Первые члены последовательности: $a_1 = 2 \cdot 1 = 2$, $a_2 = 2 \cdot 2 = 4$, $a_3 = 2 \cdot 3 = 6$, и так далее. Последовательность: 2, 4, 6, 8, ...

• Геометрическая прогрессия со знаменателем $1/2$ и первым членом $1$. Она задается формулой $b_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$.
  Первые члены последовательности: $b_1 = (\frac{1}{2})^0 = 1$, $b_2 = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$, $b_3 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, и так далее. Последовательность: 1, $1/2$, $1/4$, $1/8$, ...

• Знакочередующаяся последовательность, члены которой — обратные квадраты натуральных чисел с чередующимся знаком. Она задается формулой $c_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$.
  Первые члены последовательности: $c_1 = \frac{-1}{1^2} = -1$, $c_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, $c_3 = \frac{-1}{3^2} = -\frac{1}{9}$, и так далее. Последовательность: -1, $1/4$, $-1/9$, $1/16$, ...

• Последовательность, значения членов которой равны $1$ для нечетных номеров и $-1$ для четных. Она задается формулой $d_n = (-1)^{n+1}$.
  Первые члены последовательности: $d_1 = (-1)^2 = 1$, $d_2 = (-1)^3 = -1$, $d_3 = (-1)^4 = 1$, и так далее. Последовательность: 1, -1, 1, -1, ...

Ответ: Примеры формул, аналитически задающих последовательности: $a_n = 2n$ (последовательность четных чисел); $b_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$ (геометрическая прогрессия); $c_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$ (знакочередующаяся последовательность); $d_n = (-1)^{n+1}$ (периодическая последовательность).