Номер 6, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Приведите пример:

а) возрастающей последовательности;

б) убывающей последовательности;

в) немонотонной последовательности.

а) возрастающей последовательности

Возрастающей называется последовательность, у которой каждый следующий член больше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального номера $n$.

Простейшим примером возрастающей последовательности является последовательность натуральных чисел, которая задается формулой общего члена $a_n = n$.

Члены этой последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Проверим условие возрастания: $a_{n+1} = n + 1$. Неравенство $a_{n+1} > a_n$ принимает вид $n + 1 > n$, что очевидно верно для любого натурального $n$. Следовательно, эта последовательность является возрастающей.

Другим примером может быть геометрическая прогрессия с основанием больше 1, например, $a_n = 2^n$ (2, 4, 8, 16, ...).

Ответ: последовательность натуральных чисел $a_n = n$, то есть 1, 2, 3, ...

б) убывающей последовательности

Убывающей называется последовательность, у которой каждый следующий член меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального номера $n$.

В качестве примера можно привести последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.

Члены этой последовательности: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ...

Проверим условие убывания: $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$. Неравенство $a_{n+1} < a_n$ принимает вид $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $n(n+1)$, не меняя знака. Получим $n < n+1$, что является верным неравенством. Значит, последовательность убывающая.

Другим примером является арифметическая прогрессия с отрицательной разностью, например $a_n = 10 - n$ (9, 8, 7, 6, ...).

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, то есть 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, ...

в) немонотонной последовательности

Немонотонной называется последовательность, которая не является ни возрастающей, ни убывающей. Это означает, что в ней существуют как пары соседних членов, где следующий больше предыдущего ($a_{k+1} > a_k$), так и пары, где следующий меньше предыдущего ($a_{m+1} < a_m$).

Характерным примером немонотонной последовательности является знакочередующаяся последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.

Её члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...

Рассмотрим поведение этой последовательности:

• $a_2 = 1 > a_1 = -1$, значит, она не является убывающей.
• $a_3 = -1 < a_2 = 1$, значит, она не является возрастающей.

Так как последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, она немонотонная.

Другой пример: $a_n = \cos(\pi n)$, что также дает последовательность -1, 1, -1, 1, ...

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$, то есть -1, 1, -1, 1, ...